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La somme des chiffres

Envoyé par ENAC 
La somme des chiffres
l’an passé
Bonsoir,
j'aurais souhaité vous demander de l'aide sur une question d'un exercice. Voici la question.

Soient A la somme des chiffres de 4444^4444 et B la somme des chiffres de A. Montrer que la somme des chiffres de B vaut 7.

Pour être honnête je galère vraiment... Déjà est-ce que cela signifie que A=B ?
Pourriez-vous m'expliquer comment résoudre ce problème svp ?
Merci !



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: arithmétique
l’an passé
avatar
On n'a pas A=B. Pour résoudre le problème je pense qu'il faut utiliser les congruences mais je n'ai pas la solution.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
avatar
Et aussi les critères de divisibilité par 9, ça fait intervenir la somme des termes.

Ca pourra certainement t'aider aussi SITE

----------------------------------------------------------------------------
[www.youtube.com] VULF!



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Toborockeur.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Message effacé.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Bonjour,

A = sum(int(k) for k in str(4444**4444))
print(A)
B = sum(int(k) for k in str(A))
print(B)
C = sum(int(k) for k in str(B))
print(C)

Affiche:
72601
16
7

Cordialement,

Rescassol
Re: La somme des chiffres
l’an passé
excuse-moi rescassol mais je n'ai pas bien compris ce que tu as fait... Pourrais-tu m'expliquer ? Parce que je ne comprends pas vraiment le "language" informatique et je suis censée faire le calcul à la main.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Bonjour,

ENAC, j'ai demandé à Python de faire le boulot, parce que calculer $4444^{4444}$ à la main, je sais faire, mais ça risque d'être un peu long.
Si tu es à l'ENAC en première année, tu feras du Python à partir de fin février.
Si tu es à l'ENAC depuis plus longtemps, tu es censée connaître.

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Rescassol.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
On écrit «le langage», c'est logique.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
enfait je suis en pcsi en sup, ENAC c'est juste mon nom d'utilisateur grinning smiley
Re: La somme des chiffres
l’an passé
@ENAC
Ce problème était conçu pour être résolu sans machine.
Je ne vois pas pourquoi on aurait $A=B$. Il est tout de même assez rare qu'un nombre entier naturel $N$ soit égal à la somme $S(N) $ de ses chiffres en système décimal de numération.
Par contre il est bien connu que : $S(N)\equiv N \pmod 9$, comme on a dit.

Tu peux d'abord trouver sans trop de mal le reste par $9$ de $X=4444^{4444}$, et celui de $A=S(X)$, etc.

Ensuite, tu peux voir comment le passage de $N$ à $S(N)$ se traduit par une forte diminution pour $N$ «grand », en utilisant le logarithme décimal.

Corrige tes fautes d'orthographe s'il te plaît : «En fait».

Bon courage.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Chaurien.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Sum of digits (4444^n or 16^n or 7^n), for n=1 to 10 [goo.gl]
= sum of digits {7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801, 40353607, 282475249}
= 7,4,1,7,4,1,7,4,1 ... for n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9...
= 7,4,1,7,4,1,7,4,1 ... for n = (1,2,0,1,2,0,1,2,0...) mod3
Avec n = 4444 = 1 mod(3), on a donc respectivement 7 comme somme de chiffres
(vérification) sum of digits 4444^4444 = [goo.gl]



Edité 5 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par abstract.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Autre exemple :
Sum of digits (77777^n or 35^n or 8^n), for n=1 to 10 [goo.gl]
= sum of digits 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 2097152, 16777216, 134217728, 1073741824}
= 8,1,8,1,8,1,8,1,8 ... for n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9...
= 8,1,8,1,8,1,8,1,8... for n = (1,0,1,0,1,0,1,0,1...) mod(2)
Avec par exemple n = 871 = 1 mod(2), on a donc respectivement 8 comme somme de chiffres
(vérification) sum of digits 77777^871 = 8 [goo.gl]
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Je tente ma chance. Notons $n=4444^{4444}$. Alors il existe une suite presque nulle d'entiers $(a_{k})_{k}$ compris entre $0$ et $9$ et il existe un entier $N$ tels que: \[
n=\sum_{k=0}^{N}a_{k}10^{k}. \qquad\text{Dès lors, }\qquad
n\equiv\sum_{k=0}^{N}a_{k}\equiv A\,[9]
\] Or : \[
n\equiv(493\times9+7)^{4444}\equiv7^{3\times1481+1}\equiv((-2)^{3})^{1481}\times7\equiv(-8)^{1481}\times7\equiv7\,[9]
\] Ainsi ($C$: somme des chiffres de $B$, je pense que cela manquait à l'énoncé!) : \[
C\equiv B\equiv A\equiv7\,[9]
\] Il nous faut un argument supplémentaire pour conclure. L'idée est de majorer : \[
n=4444^{4444}<(10^4)^{4444}=10^{4\times4444}
\] Ainsi, \[
A\leq9\times4\times4444<10^{2}\times10^{4}=10^{6}
\] D'où $B\leq9\times6=53$ et donc $C\leq5+9=14$. Or on a vu que $C\equiv7$ $[9]$, cela force alors à $C=7$.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: La somme des chiffres
l’an passé
avatar
Je sors l’artillerie lourde grinning smiley.

Soit N un nombre entier positif , $N=\sum_{i=0}^{n}a_i10^i$ , $n> 2$ , $a_i$ un entier , $0\leq a_i \leq 9$ , $a_n \neq 0$ et $0\leq i \leq 9$ alors : $$N\geq \frac{1\overbrace{0\cdots0}_{}^{k+1}\overbrace{9\cdots9}_{}^{n-k}}{1+9(n-k-1)}A_n$$ Ou $A_n=\sum_{i=0}^{n}a_i$, et $k$ l'unique entier tel que : $2+\sum_{i=0}^{k}10^i\leq n \leq 2+\sum_{i=0}^{k+1}10^i$

Elle tirée d'un dictionnaire de Maths de Peter Bullen .Cela donnera au moins des informations .

J'offre des points à qui mieux mieux ...[math.stackexchange.com]
Re: La somme des chiffres
l’an passé
Re: La somme des chiffres
l’an passé
17ème Olympiade internationale de mathématiques, Bulgarie, 1975, problème 4.
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