La somme des chiffres
dans Arithmétique
Bonsoir,
j'aurais souhaité vous demander de l'aide sur une question d'un exercice. Voici la question.
Soient A la somme des chiffres de 4444^4444 et B la somme des chiffres de A. Montrer que la somme des chiffres de B vaut 7.
Pour être honnête je galère vraiment... Déjà est-ce que cela signifie que A=B ?
Pourriez-vous m'expliquer comment résoudre ce problème svp ?
Merci !
j'aurais souhaité vous demander de l'aide sur une question d'un exercice. Voici la question.
Soient A la somme des chiffres de 4444^4444 et B la somme des chiffres de A. Montrer que la somme des chiffres de B vaut 7.
Pour être honnête je galère vraiment... Déjà est-ce que cela signifie que A=B ?
Pourriez-vous m'expliquer comment résoudre ce problème svp ?
Merci !
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Réponses
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Cordialement,
Rescassol
ENAC, j'ai demandé à Python de faire le boulot, parce que calculer $4444^{4444}$ à la main, je sais faire, mais ça risque d'être un peu long.
Si tu es à l'ENAC en première année, tu feras du Python à partir de fin février.
Si tu es à l'ENAC depuis plus longtemps, tu es censée connaître.
Cordialement,
Rescassol
Ce problème était conçu pour être résolu sans machine.
Je ne vois pas pourquoi on aurait $A=B$. Il est tout de même assez rare qu'un nombre entier naturel $N$ soit égal à la somme $S(N) $ de ses chiffres en système décimal de numération.
Par contre il est bien connu que : $S(N)\equiv N \pmod 9$, comme on a dit.
Tu peux d'abord trouver sans trop de mal le reste par $9$ de $X=4444^{4444}$, et celui de $A=S(X)$, etc.
Ensuite, tu peux voir comment le passage de $N$ à $S(N)$ se traduit par une forte diminution pour $N$ «grand », en utilisant le logarithme décimal.
Corrige tes fautes d'orthographe s'il te plaît : «En fait».
Bon courage.
Fr. Ch.
= sum of digits {7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801, 40353607, 282475249}
= 7,4,1,7,4,1,7,4,1 ... for n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9...
= 7,4,1,7,4,1,7,4,1 ... for n = (1,2,0,1,2,0,1,2,0...) mod3
Avec n = 4444 = 1 mod(3), on a donc respectivement 7 comme somme de chiffres
(vérification) sum of digits 4444^4444 = https://goo.gl/mzrpcc
Sum of digits (77777^n or 35^n or 8^n), for n=1 to 10 https://goo.gl/FKhhUi
= sum of digits 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 2097152, 16777216, 134217728, 1073741824}
= 8,1,8,1,8,1,8,1,8 ... for n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9...
= 8,1,8,1,8,1,8,1,8... for n = (1,0,1,0,1,0,1,0,1...) mod(2)
Avec par exemple n = 871 = 1 mod(2), on a donc respectivement 8 comme somme de chiffres
(vérification) sum of digits 77777^871 = 8 https://goo.gl/fYzKru
n=\sum_{k=0}^{N}a_{k}10^{k}. \qquad\text{Dès lors, }\qquad
n\equiv\sum_{k=0}^{N}a_{k}\equiv A\,[9]
\] Or : \[
n\equiv(493\times9+7)^{4444}\equiv7^{3\times1481+1}\equiv((-2)^{3})^{1481}\times7\equiv(-8)^{1481}\times7\equiv7\,[9]
\] Ainsi ($C$: somme des chiffres de $B$, je pense que cela manquait à l'énoncé!) : \[
C\equiv B\equiv A\equiv7\,[9]
\] Il nous faut un argument supplémentaire pour conclure. L'idée est de majorer : \[
n=4444^{4444}<(10^4)^{4444}=10^{4\times4444}
\] Ainsi, \[
A\leq9\times4\times4444<10^{2}\times10^{4}=10^{6}
\] D'où $B\leq9\times6=53$ et donc $C\leq5+9=14$. Or on a vu que $C\equiv7$ $[9]$, cela force alors à $C=7$.
Soit N un nombre entier positif , $N=\sum_{i=0}^{n}a_i10^i$ , $n> 2$ , $a_i$ un entier , $0\leq a_i \leq 9$ , $a_n \neq 0$ et $0\leq i \leq 9$ alors : $$N\geq \frac{1\overbrace{0\cdots0}_{}^{k+1}\overbrace{9\cdots9}_{}^{n-k}}{1+9(n-k-1)}A_n$$ Ou $A_n=\sum_{i=0}^{n}a_i$, et $k$ l'unique entier tel que : $2+\sum_{i=0}^{k}10^i\leq n \leq 2+\sum_{i=0}^{k+1}10^i$
Elle tirée d'un dictionnaire de Maths de Peter Bullen .Cela donnera au moins des informations .
http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1975_IMO_Problems/Problem_4
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1532118,1532118#msg-1532118