Suites et monotonie

D'évidence, oui. L'inégalité $u_{n+1}\le u_n$ pour $n\ge2$ signifie que la suite est décroissante à partir du rang $2$. Il ne faut pas croire tout ce qu'on lit, même quand on l'a écrit...

Comment ça, « comment faire apparaître $n\ge2$ » ?

On peut calculer des valeurs approchées des premiers termes : $u_0=0$, $u_1\simeq0.368$, $u_2\simeq0.541$ donc $u_0<u_1<u_2$. On le voit d'ailleurs sur le dessin de bloy.noel plus haut. Pas d'espoir de montrer quelque chose qui est faux.

On veut l'inégalité $\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^2<\mathrm{e}$, ce qui est vrai dès que $n\ge2$ (cf. tes notes) et faux pour $n=1$ (l'inégalité est alors $2^2<\mathrm{e}$, ce qui est faux puisque $\mathrm{e}<3<4$). Voilà pourquoi apparaît $n\ge2$, je ne comprends pas la question comment.