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puissances qui commencent par un 9

Envoyé par Math Coss 
puissances qui commencent par un 9
il y a trois semaines
Ce fil fait suite à celui-ci, qui nous a occupés cet été. La question a été successivement de trouver des puissances de $6$ qui commencent par un chiffre $9$, par une suite de huit ou neuf chiffres $9$, puis par un préfixe quelconque comme $12345678910$.

Le choix initial de $6$ était dû au fait que $6$ est un « record » : la plus petite puissance de $6$ qui commence par un $9$ est $6^{176}$ et $176$ est « bien plus grand » que les exposants minimaux des voisins de $6$ et, d'ailleurs, « bien plus grand » que le temps d'attente normal correspondant à une « fréquence » d'apparition de $1-\log_{10}9\simeq4.6\;\%$.

Quels sont donc les « records » ? Pour un entier $n$ qui n'est pas une puissance de $10$, notons $m(n)$ l'exposant minimal tel que $n^{m(n)}$ commence par un $9$. On dit que $n$ est un record si $m(n)>\max\bigl(m(1),\dots,m(n-1)\bigr)$. Les records inférieurs à $1000$ sont, sauf erreur de calcul (la suite n'est pas dans l'OEIS, c'est dire son intérêt !) :
\[\begin{array}{c|cccccccc}
n&2&4&6&72&75&152&518&631\\\hline
m(n)&53&78&176&519&1297&1787&2209&5256\end{array}\]
Que peut-on donc dire de ces records ? Y en a-t-il une infinité, pour commencer ? Quelle en est la croissance ? et celle de la suite des exposants ?
Re: puissances qui commencent par un 9
il y a trois semaines
avatar
Avec un petit programme en Python, je retrouve bien la liste :
[(2, 53), (4, 78), (6, 176), (72, 519), (75, 1297), (152, 1787), (518, 2209), (631, 5256), (1585, 5274)]

Chose curieuse, en cherchant les puissances qui commencent par $8$, la liste devient :
[(2, 3), (3, 4), (4, 53), (32, 79), (72, 246), (75, 465), (518, 1047), (631, 3516), (1585, 3524)]
Des nombres en commun . . .confused smiley
Re: puissances qui commencent par un 9
il y a trois semaines
Heureusement, les exposants diffèrent dans les deux listes...

Tu pointes en tout cas l'arbitraire qu'il y a à s'intéresser au premier chiffre $9$ plutôt qu'un autre premier chiffre ($8$ par exemple) dans une autre base (dix ou n'importe quelle autre). La seule justification (faible), c'est que la base dix est la plus fréquente (dans la vie de la plupart des humains) et le chiffre $9$ le moins fréquent (d'après la loi de Benford).
Re: puissances qui commencent par un 9
il y a trois semaines
Bonjour,
Je m'aperçois que l'exo "Quel est le plus petit "m" tel que N commence par 9 ?"
que j'avais donné ici [www.les-mathematiques.net] ,
je l'ai redonné 2 mois plus tard en bas là [www.les-mathematiques.net]
Oulala ...c'est la Bérézina neuronale



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par abstract.
Re: puissances qui commencent par un 9
il y a trois semaines
Voilà donc aussi les solutions de Diophante
[www.diophante.fr]
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