puissances qui commencent par un 9

Ce fil fait suite à celui-ci, qui nous a occupés cet été. La question a été successivement de trouver des puissances de $6$ qui commencent par un chiffre $9$, par une suite de huit ou neuf chiffres $9$, puis par un préfixe quelconque comme $12345678910$.

Le choix initial de $6$ était dû au fait que $6$ est un « record » : la plus petite puissance de $6$ qui commence par un $9$ est $6^{176}$ et $176$ est « bien plus grand » que les exposants minimaux des voisins de $6$ et, d'ailleurs, « bien plus grand » que le temps d'attente normal correspondant à une « fréquence » d'apparition de $1-\log_{10}9\simeq4.6\;\%$.

Quels sont donc les « records » ? Pour un entier $n$ qui n'est pas une puissance de $10$, notons $m(n)$ l'exposant minimal tel que $n^{m(n)}$ commence par un $9$. On dit que $n$ est un record si $m(n)>\max\bigl(m(1),\dots,m(n-1)\bigr)$. Les records inférieurs à $1000$ sont, sauf erreur de calcul (la suite n'est pas dans l'OEIS, c'est dire son intérêt !) :
\[\begin{array}{c|cccccccc}
n&2&4&6&72&75&152&518&631\\\hline
m(n)&53&78&176&519&1297&1787&2209&5256\end{array}\]
Que peut-on donc dire de ces records ? Y en a-t-il une infinité, pour commencer ? Quelle en est la croissance ? et celle de la suite des exposants ?