Problème avec les congruences

Stief · November 2017

Bonsoir à tous et à toutes !
J'ai un petit problème de dernière minute, un exercice sur les congruences me résiste ! J'ai beau le tourner dans tous les sens, pas moyen de mettre la main sur le bon chemin ...

Voilà l'énoncé : Montrez que l'on a x^30 congru à 1 mod 77, pour tout x entier premier avec 77.

J'utilise le théorème d'Euler mais après je reste bloqué à x^60 congru à 1 mod 77

Merci d'avance pour l'aide !
Cordialement, Stiéphen.

PS : excusez-moi pour la faute de frappe, c'est x^30 et non x qui est congru à 1 mod 77

YvesM · November 2017

Bonjour,

3 et 77 sont premiers entre-eux ; on n’a pas 3 congru à 1 modulo 77, non ?

Stief · November 2017

J'avais fait une faute de frappe que j'ai changé, c'est pas x congru à 1 mod 77 mais x^30 congru à 1 mod 77.
Pardonnez moi pour cette bêtise

Poirot · November 2017

Le résultat vient du fait que $30 = PPCM(6, 10)$. Le théorème chinois te dit que travailler modulo $77$, c'est pareil que travailler modulo $7$ et modulo $11$. En particulier, on a bien $x^{30}=1 \pmod 7$ et $x^{30} = 1 \pmod{11}$ pour tout $x$ premier avec $7$ et $11$, c'est-à-dire premier avec $77$ !

Stief · November 2017

Aaah !! Le PPCM s'applique aussi sur les puissances, et pas seulement sur les modulo !! Mais c'est fantastiques ça ! Merci beaucoup pour l'aide

Poirot · November 2017

Disons que, sans parler de PPCM, $6$ et $10$ divisent chacun $30$. Donc $x^{30} = (x^6)^5 = 1 \pmod 7$ et $x^{30} = (x^{10})^3=1 \pmod{11}$ toujours pour $x$ premier avec $77$. On aurait pu prendre $90$ au lieu de $30$ par exemple.

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