Nombres parfaits et congruences.

Lake
Lake
dans Arithmétique
Bonjour à tous,

La question a été posée sur un autre forum. Après quelques tentatives infructueuses, elle a fini par m'intriguer.

Donc voici:

$N=2^{p-1} (2^p-1)$ avec $p$ premier impair et $2^p-1$ premier est un nombre parfait.

Montrer que:

$N\equiv 1+\dfrac{{\color{red} 9}\,p(p-1)}{2}\;\;[81]$

Mes tentatives:

$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ est le $n$ ième nombre triangulaire.

$N=1+(2^{p-1}-1)(2^p+1)=1+9\,T_{\frac{2^p-2}{3}}$ (avec $p$ impair, $\dfrac{2^p-2}{3}$ est entier)

Le problème revient à prouver qu'avec $p$ premier (et $2^p-1$ premier ?):

$2\,T_{\frac{2^p-2}{3}}=\dfrac{(2^p-2)(2^p+1)}{9}\equiv p(p-1)\;\;[9]$

C'est évidemment là le "crux" de l'affaire; je n' y suis pas parvenu.

Il est clair que:

1) Je ne communiquerai une solution éventuelle qu'avec votre autorisation.

2) Je ne me l'attribuerai pas.

Merci d'avance.

Pour information, il a été fait mention du livre Elementary number theory de Underwood Dudley dans le message initial sur l'autre forum.

[Edit suite au message de AP]

Réponses

  • Lake
    Lake
    Bon, j'ai ma réponse.

    Le binôme de Newton modulo 81 avec $(3-1)^{p-1}$ et $(3-1)^p-1$

    Merci de m'avoir lu!
  • AP
    AP
    Bonjour
    la formule proposée est en fait fausse

    Je laisse le lecteur trouver la formule corrigée via effectivement le binôme

    Par ailleurs l'hypothèse $p$ impair seule suffit pour la trouver,

    et si $p$ est pair il y a une autre formule
  • Lake
    Lake
    Bonjour,

    Effectivement, c' est une coquille de ma part:

    $2^{p-1}(2^p-1)\equiv 1+\dfrac{9\,p(p-1)}{2}\;\;[81]$

    Merci de l'avoir signalée.
  • Lake
    Lake
    Bonsoir,

    Avec $p$ pair, j'ai obtenu, toujours via le binôme, une formule pas très "agréable":

    $2^{p-1}(2^p-1)\equiv \dfrac{3p}{2}(9p^3+3p^2+9p+8)\;\;[81]$

    Peut-on l'améliorer ?
  • Lake
    Lake
    Bonsoir,

    On m' a indiqué cette formule pour $p$ pair:

    $2^{p-1}(2^p-1)\equiv 3p+27\,\binom{p}{3}\;\;[81]$

    La différence avec la mienne vaut $\dfrac{27p^2(p^2+2)}{2}$ qui est bien un multiple de 81.
  • AP
    AP
    Via le binôme, j'ai trouvé

    $3(-3p^3-9p^2/2+17p/2)$, vérifiée pour $p=2,4,6$
  • jandri
    jandri
    J'ai trouvé (après coup) l'explication de la ressemblance entre les formules pour les cas pair et impair.
    Cela fournit une démonstration en une ou deux lignes des congruences pour $p$ pair et $p$ impair.

    $N=2^{p-1} (2^p-1)=\frac12(4^p-2^p)=\frac12((3+1)^p-(3-1)^p)=\frac12\displaystyle\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}3^k(1-(-1)^{p-k})=\sum_{(k-p) \text{
    impair}}\binom{p}{k}3^k$.

    On a donc pour $p$ impair: $N=\displaystyle\sum_{k \text{ pair}}\binom{p}{k}3^k\equiv 1+9\binom{p}{2} \pmod{81}$
    et pour $p$ pair: $N=\displaystyle\sum_{k \text{ impair}}\binom{p}{k}3^k\equiv 3p+27\binom{p}{3} \pmod{243}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    En effet cet exercice figure dans : Underwood Dudley, Elementary Number Theory, Dover 1978, section 8, n° 15, avec $p$ impair, non corrigé.
  • AP
    AP
    Ah oui, fallait le voir le $(3+1)^p -(3-1)^p$ !
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    Je profite du fait qu'on parle de nombres parfaits que j'ai regardé ces derniers jours, ici pour donner ce petit résultat.

    Si $2^{n} - 3$ est un nombre premier, alors $2^{n-1}(2^{n} - 3)$ a une abondance égale à $2$.

    Par ailleurs, je pense que si $A$ est un nombre abondant ou parfait primitif, alors la décomposition de $A$ en produit de facteurs premiers contient au moins un facteurs à exposant $1$. Si quelqu'un a un contre-exemple, je suis preneur.

    Merci d'avance.
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