Nombres parfaits et congruences.
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
La question a été posée sur un autre forum. Après quelques tentatives infructueuses, elle a fini par m'intriguer.
Donc voici:
$N=2^{p-1} (2^p-1)$ avec $p$ premier impair et $2^p-1$ premier est un nombre parfait.
Montrer que:
$N\equiv 1+\dfrac{{\color{red} 9}\,p(p-1)}{2}\;\;[81]$
Mes tentatives:
$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ est le $n$ ième nombre triangulaire.
$N=1+(2^{p-1}-1)(2^p+1)=1+9\,T_{\frac{2^p-2}{3}}$ (avec $p$ impair, $\dfrac{2^p-2}{3}$ est entier)
Le problème revient à prouver qu'avec $p$ premier (et $2^p-1$ premier ?):
$2\,T_{\frac{2^p-2}{3}}=\dfrac{(2^p-2)(2^p+1)}{9}\equiv p(p-1)\;\;[9]$
C'est évidemment là le "crux" de l'affaire; je n' y suis pas parvenu.
Il est clair que:
1) Je ne communiquerai une solution éventuelle qu'avec votre autorisation.
2) Je ne me l'attribuerai pas.
Merci d'avance.
Pour information, il a été fait mention du livre Elementary number theory de Underwood Dudley dans le message initial sur l'autre forum.
[Edit suite au message de AP]
La question a été posée sur un autre forum. Après quelques tentatives infructueuses, elle a fini par m'intriguer.
Donc voici:
$N=2^{p-1} (2^p-1)$ avec $p$ premier impair et $2^p-1$ premier est un nombre parfait.
Montrer que:
$N\equiv 1+\dfrac{{\color{red} 9}\,p(p-1)}{2}\;\;[81]$
Mes tentatives:
$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ est le $n$ ième nombre triangulaire.
$N=1+(2^{p-1}-1)(2^p+1)=1+9\,T_{\frac{2^p-2}{3}}$ (avec $p$ impair, $\dfrac{2^p-2}{3}$ est entier)
Le problème revient à prouver qu'avec $p$ premier (et $2^p-1$ premier ?):
$2\,T_{\frac{2^p-2}{3}}=\dfrac{(2^p-2)(2^p+1)}{9}\equiv p(p-1)\;\;[9]$
C'est évidemment là le "crux" de l'affaire; je n' y suis pas parvenu.
Il est clair que:
1) Je ne communiquerai une solution éventuelle qu'avec votre autorisation.
2) Je ne me l'attribuerai pas.
Merci d'avance.
Pour information, il a été fait mention du livre Elementary number theory de Underwood Dudley dans le message initial sur l'autre forum.
[Edit suite au message de AP]
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Réponses
Le binôme de Newton modulo 81 avec $(3-1)^{p-1}$ et $(3-1)^p-1$
Merci de m'avoir lu!
la formule proposée est en fait fausse
Je laisse le lecteur trouver la formule corrigée via effectivement le binôme
Par ailleurs l'hypothèse $p$ impair seule suffit pour la trouver,
et si $p$ est pair il y a une autre formule
Effectivement, c' est une coquille de ma part:
$2^{p-1}(2^p-1)\equiv 1+\dfrac{9\,p(p-1)}{2}\;\;[81]$
Merci de l'avoir signalée.
Avec $p$ pair, j'ai obtenu, toujours via le binôme, une formule pas très "agréable":
$2^{p-1}(2^p-1)\equiv \dfrac{3p}{2}(9p^3+3p^2+9p+8)\;\;[81]$
Peut-on l'améliorer ?
On m' a indiqué cette formule pour $p$ pair:
$2^{p-1}(2^p-1)\equiv 3p+27\,\binom{p}{3}\;\;[81]$
La différence avec la mienne vaut $\dfrac{27p^2(p^2+2)}{2}$ qui est bien un multiple de 81.
$3(-3p^3-9p^2/2+17p/2)$, vérifiée pour $p=2,4,6$
Cela fournit une démonstration en une ou deux lignes des congruences pour $p$ pair et $p$ impair.
$N=2^{p-1} (2^p-1)=\frac12(4^p-2^p)=\frac12((3+1)^p-(3-1)^p)=\frac12\displaystyle\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}3^k(1-(-1)^{p-k})=\sum_{(k-p) \text{
impair}}\binom{p}{k}3^k$.
On a donc pour $p$ impair: $N=\displaystyle\sum_{k \text{ pair}}\binom{p}{k}3^k\equiv 1+9\binom{p}{2} \pmod{81}$
et pour $p$ pair: $N=\displaystyle\sum_{k \text{ impair}}\binom{p}{k}3^k\equiv 3p+27\binom{p}{3} \pmod{243}$.
Je profite du fait qu'on parle de nombres parfaits que j'ai regardé ces derniers jours, ici pour donner ce petit résultat.
Si $2^{n} - 3$ est un nombre premier, alors $2^{n-1}(2^{n} - 3)$ a une abondance égale à $2$.
Par ailleurs, je pense que si $A$ est un nombre abondant ou parfait primitif, alors la décomposition de $A$ en produit de facteurs premiers contient au moins un facteurs à exposant $1$. Si quelqu'un a un contre-exemple, je suis preneur.
Merci d'avance.