Problème de Lehmer...

Sylvain · November 2017

...peut-être résolu. Un preprint publié ce matin par une personne dénommée Huan Xiao affirme qu'il n'y a pas d'entier naturel composé $ n $ tel que $ \phi(n) $ divise $ n-1 $ .

Qu'en pensent les spécialistes du domaine ?

Math Coss · November 2017

Un problème célèbre résolu en une demi-page, sans utiliser d'idée non triviale ni de résultat récent ? C'est suspect !

Dans le paragraphe sous l'équation (2.3), on a au moins huit nombres premiers impairs $p'_1,\dots,p'_{k+1}$. Notons $A=(p'_1-1)\cdots(p'_k-1)$ et $C=p'_1\cdots p'_k-1$. L'auteur part de\[\begin{cases}(p'_{k+1}-1)\mid C\\
A\mid(Cp'_{k+1}+p'_{k+1}-1)\end{cases}\]et en déduit que
\[A\mid C.\]Déduction un peu rapide, non ? Pire, si c'était vrai, on aurait aussitôt : $A\mid(p'_{k+1}-1)$, ce qui conduit à une contradiction. En effet, comme les nombres premiers sont quelconques, on peut supposer si on veut que $p'_{k+1}$ est le plus petit d'entre eux et dans ce cas, $A>p'_{k+1}-1$, absurde. Ainsi, l'assertion $A\mid C$ est fausse dans la généralité considérée.

Champ-Pot-Lion · November 2017

Est-ce ça ? Si oui, je ne vois pas ce que l'auteur a voulu dire par "combining with formula 2.2". La primalité des $p_i$ n'a même pas été utilisée, ça ne m'a pas l'air très très sérieux.

Fin de partie · November 2017

On a une rubrique pour ça sur le forum non?

Poirot · November 2017

J'y ai passé un peu de temps aussi ce matin :-D On ne sert pas de la primalité des $p_i$ à part pour dire que l'indicatrice d'Euler de leur produit fait bien $(p_1-1) \dots (p_{k+1}-1)$. Après l'initialisation me semble plus que douteuse.

L'erreur a été bien expliquée par Math Coss.

Problème de Lehmer...

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