Trop mignon, ce système !

Si $x,y$ sont des entiers cela va être vite fait. :-)

Bonjour,

Pour $a>0$ je trouve comme seule solution : $x=1, y=1, a>0.$

Pour $x<0$, on a $y<0$ et contradiction avec $2a>0.$
On a $x \neq 0$, donc $x>0.$

On suppose $x \neq 1$ :

On définit la fonction $f: a \mapsto x^2 a^{1/x-1} + a^{x-1} -2x.$ Cette fonction est dérivable. On a $f’(a)= ...$ qui s’annule en $a=x^{x/(x^2-1)}$... la fonction est décroissante puis croissante avec des limites infinies en $0$ et $+\infty$ ; le minimum est $x (x^{x/(1+x)} + x^{-1/(1+x)} -2) >0$ par la formule $u+v \geq 2\sqrt{uv}$ pour $u,v$ positif.

Pour $x =1$, ...

Pour $a=0$, il faut $x>0, y>0$ et donc $x>0, a=0, y=1/x$ est solution.

Pour $a<0$, il faut $x$ et $y$ entiers et donc $x=y=1, a<0$ est solution.

Toutes les solutions sont donc : $x=1, y=1, a \neq 0$ ; $x>0, a=0, y=1/x.$