Indicatrice d'Euler et changement d'indice

Bonsoir.

On définit $\varphi$ l'indicatrice d'Euler, qui à $n \in \mathbb{N}^*$ associe le nombre de $k \in [| 1,n |]$ premiers à $n$.
Ou encore le nombre d'inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

En cherchant à montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $n = \sum\limits_{d\mid n} \varphi(d)$, je me vois perplexe devant la dernière étape qui n'est qu'un changement d'indice : $$\sum_{d\mid n} \varphi\Big(\frac{n}{d}\Big) = \sum_{d\mid n} \varphi(d).
$$ Quelqu'un en aurait-il une explication, disons, qualitative, quant aux manipulations sur les diviseurs, multiples, etc ?

Merci d'avance.