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Indicatrice d'Euler et changement d'indice

Envoyé par Pypaut 
Indicatrice d'Euler et changement d'indice
il y a deux semaines
Bonsoir.

On définit $\varphi$ l'indicatrice d'Euler, qui à $n \in \mathbb{N}^*$ associe le nombre de $k \in [| 1,n |]$ premiers à $n$.
Ou encore le nombre d'inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

En cherchant à montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $n = \sum\limits_{d\mid n} \varphi(d)$, je me vois perplexe devant la dernière étape qui n'est qu'un changement d'indice : $$\sum_{d\mid n} \varphi\Big(\frac{n}{d}\Big) = \sum_{d\mid n} \varphi(d).
$$ Quelqu'un en aurait-il une explication, disons, qualitative, quant aux manipulations sur les diviseurs, multiples, etc ?

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux semaines et a été effectuée par AD.
Re: Indicatrice d'Euler et changement d'indice
il y a deux semaines
avatar
Si $d$ parcourt l'ensemble des diviseurs de $n$ (en ordre croissant), alors $n/d$ parcourt le même ensemble (en ordre décroissant).
Re: Indicatrice d'Euler et changement d'indice
il y a deux semaines
Un chouïa plus précis : l'application $d \longmapsto d^{\, \prime}$, à qui tout diviseur $d$ de $n$ associe le diviseur $d^{\, \prime}$ tel que $d d^{\, \prime} = n$, est bijective.
Re: Indicatrice d'Euler et changement d'indice
il y a douze jours
C'est précisément ce dont j'avais besoin.
Merci à vous thumbs down
Re: Indicatrice d'Euler et changement d'indice
il y a douze jours
De rien. Bonne continuation.
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