Un problème pour l'an neuf
dans Arithmétique
Soit $f$ de $\N^*$ vers $\Z$ telle que : 1) $\forall n \in \N^*$ et $\forall m \in \N^*$ $f(nm)=f(n)+f(m)$
et 2) $ \forall p $ premier $f(1)+f(2)+\cdots +f(p)=p$.
Calculez $f(2018)$.
et 2) $ \forall p $ premier $f(1)+f(2)+\cdots +f(p)=p$.
Calculez $f(2018)$.
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Réponses
$f(2018)=-10$ ?
Cordialement,
Rescassol
écrit pour GP PARI:
H(m)={ local(n,k,D); T=vector(m); for(n=2,m,if(isprime(n)==1,T[n]=n-sum(k=1,n-1,T[k]),D=factor(n);T[n]=T[D[1,1]]+T[n/D[1,1]])); return(T[m]); }Le code est tout pourri et sans subtilité mais il fonctionne semble-t-il.
PS:
Merci Cidrolin pour ce problème.
FdP, voilà au moins aussi pourri:
def cidrolin(n): if Tbool[n]: return Tval[n] b,m=Premier(n) Tbool[n]=True if b: Tval[n]=n-sum(cidrolin(k) for k in range(2,n)) else: Tval[n]=cidrolin(m)+cidrolin(n//m) return Tval[n] N=2019 Tval=[0]*N Tbool=[False]*N Tval[1]=0 Tbool[1]=True Tval[2]=2 Tbool[2]=True print(cidrolin(2018))Edit: j'avais oublié de préciser ceci (écrit un autre jour):
def Premier(n): if n == 1: return False, 1 if not n % 2: return False, 2 limite = int(sqrt(n)) + 1 for k in range(3,limite,2): if not n % k: return False, k return True, 1Cordialement,
Rescassol
Et un petit graphique:
Cordialement,
Rescassol
Voici une version un peu plus optimisée:
F(m)={ local(n,k,D,S); T=vector(m); S=0; for(n=2,m,if(isprime(n),T[n]=n-S;,D=divisors(n);T[n]=T[D[2]]+T[n/D[2]]);S+=T[n]); return(T[m]); }Explications pour les non informaticiens.
On calcule toutes les valeurs de $F$ de $2$ à $m$.
On sait que $F(1)=0$ puisque $F(n\times 1)=F(n)+F(1)$.
Une fois qu'on a calculé toutes les valeurs de $F$ de $2$ à $n-1$.
On se retrouve devant l'alternative.
Ou bien, $n$ est premier et on a alors une formule qui permet de calculer $F(n)$:
$\displaystyle F(n)=n-\sum_{k=1}^{n-1}F(k)$
Les valeurs de $k$ sont plus petites que $n$ donc les $F(k)$ ont déjà été calculées.
Ou bien, $n$ n'est pas premier et dans ce cas-là il a au moins un diviseur $d$ qui n'est pas $1$ et qui n'est pas $n$.
(le deuxième plus petit diviseur: D[2] dans mon programme) et on a: $n=dd'$ et donc $F(n)=F(d)+F(d')$
$d$ et $d'$ sont plus petits que $n$ on a donc déjà calculé $F(d)$ et $F(d')$.
Toutes les valeurs de $F$ sont sauvegardées dans le tableau $T$ de mon programme qui a exactement $m$ entrées.
(par défaut, à la création toutes les entrées sont mises à $0$)
A chaque fois qu'on obtient une nouvelle valeur de F, on l'ajoute à la variable $S$. $S$ est donc égale à la somme des $F(k)$ pour $k$ variant de $1$ à la dernière valeur traitée. Cela évite de recalculer cette somme à chaque fois qu'on rencontre un nombre premier.
En effet si $p$ est premier on a $f(p!)=p$.
Par suite si $n=\prod p_k^{(a_k)}$ (avec les notations de Cidrolin) on a $f(n)=\sum p_ka_k$.
Par exemple, $2018=1009^{(1)}997^{(-1)}503^{(-1)}491^{(1)}83^{(1)}79^{(-1)}71^{(1)}67^{(-2)}61^{(1)}59^{(-1)}47^{(1)}37^{(-1)}31^{(3)}23^{(-3)}19^{(2)}13^{(-1)}11^{(4)}7^{(-3)}5^{(-8)}3^{(-9)}2^{(16)}$ donne bien $f(2018)=-10$.
Voici quelques explications : nul n'ignore la suite A001414 de l'oeis.
Notons $g(n)$ le terme de rang $n$ de cette suite, $g$ est complètement additive (prop 1 de $f$) et vérifie: $p$ premier $=>$ $\quad g(p)=p$.
La fonction $f$ de ce fil correspond à la même idée, mais pour la "factorisation" de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1552962 .
Précisons, si $n=(p_1!)^{a_1}(p_2!)^{a_2}\cdots (p_k!)^{a_k}$ alors $f(n)=p_1*a_1+\cdots+p_k*a_k$.
par exemple
$f(2018)=1009*1 -997*1 -503*1 +491*1+ 83*1 -79*1 +71*1 -67*2 +61*1 -59*1$
$+47*1 -37*1 +31*3 -23*3 +19*2 -13*1 +11*4 -7*3 -5*8 -3*9 +2*16 =-10$
Amicalement
Edit : grillé par Jandri :-D
(je suis un peu déçu, à priori, je m'attendais à un "big trick" qui ridiculise mon programme au dernier degré)
On peut prolonger la fonction $F$ à l'ensemble $\mathbb{Q}_{*}^{+}$ en entier.
$F\left(\frac{a}{b}\right)=F(a)-F(b)$
qui donne $f(p+1)+f(p+2)=2$. La réciproque est fausse $f(20)+f(21)=2$.
PS:
et exactement $511$ valeurs qui sont inférieures à $10000$
Il conviendrait donc de chercher les $n$ premiers tels que $f(t_n)=0$, ici $t_n=n(n-1)/2$.
Il y a une infinité de nombres premiers et aussi une infinité de nombres $m$ vérifiant $f(m)=0$ donc . . .
On retrouve les $35$ nombres annoncés plus haut.
Donc?
$23-2=3 \times 7$
$179-2 = 3 \times 59$
$401-2=3 \times 7 \times 19$
$827-2=3 \times 5^2 \times 11$.
Je me sens obligé d'alerter un modérateur.
et?
On part de $a_1a_2 \cdots a_n 2018$, on arrive à $2018a_1a_2 \cdots a_n $.
Pour le plus petit:
Cordialement,
Rescassol
Pas de problème, voilà le deuxième:
Cordialement,
Rescassol
Je considère le rationnel $x=0,a_1a_2 \cdots a_n 2018a_1a_2 \cdots a_n 2018a_1a_2 \cdots a_n 2018\cdots$.
On doit avoir $\dfrac{x}{10\,000} +\dfrac{2\,018}{10\,000}=2x$.
On trouve $x=\dfrac{2\,018}{19\,999}$. Le nombre cherché correspond à la période (repeating decimal), avec wolframalpha :
Le nombre $142857$ a pour double $285714$.
On classe dans l'ordre croissant le nombres $n \pi^m$, avec $n \geq 1$ et $m \geq 1$.
On trouve :$\pi ; 2\pi; 3\pi; \pi^2;4\pi. \dots$
Quel est le $2018$ème ? Quel est le rang de $n \pi^m$ ?
Amicalement