Exercice du dimanche
dans Arithmétique
Pour ceux intéressés par le renouvellement des exercices. Au détour d'un calcul ennuyeux je suis tombé sur une propriété qui pourrait égayer vos colles ou autres oraux en permettant de s'amuser à la fois avec les déterminants de Cauchy (algèbre) et les nombres premiers (arithmétique).
Soit $M(n)$ la matrice carrée $n\times n$ de terme $m(i,j)=\dfrac{1}{n(i-1)+j}$ et soit $D(n)$ son déterminant.
$1)$ Montrer que $$D(n)=\frac{n^{\tfrac{n(n-1)}{2}}}{(n^{2})!}\left(\prod_{k=1}^{n-1}k!^{2}\right)
$$ $2)$ En déduire que $n\geq5$ est premier si et seulement si $$\frac{n^{\tfrac{(n+1)(n-4)}{2}}}{D(n)}\, \notin\mathbb{N}$$
Soit $M(n)$ la matrice carrée $n\times n$ de terme $m(i,j)=\dfrac{1}{n(i-1)+j}$ et soit $D(n)$ son déterminant.
$1)$ Montrer que $$D(n)=\frac{n^{\tfrac{n(n-1)}{2}}}{(n^{2})!}\left(\prod_{k=1}^{n-1}k!^{2}\right)
$$ $2)$ En déduire que $n\geq5$ est premier si et seulement si $$\frac{n^{\tfrac{(n+1)(n-4)}{2}}}{D(n)}\, \notin\mathbb{N}$$
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Réponses
$$u(n)=\frac{(n^{2})!}{\left(n!\right)^{n+2}}+\frac{1}{n}$$
alors on a $n\geq2$ qui est premier si et seulement si $u(n)$ est un entier.
J'ai pour ma part utilisé les trois ingrédients suivants:
$p$ étant un nombre premier,
1) $v_p(n!)\times(p-1)=n-S_p(n)$ où $v_p$ désigne la valuation $p-$adique et $S_p$ la somme des chiffres en base $p$.
2) Le fait que pour tout $n$ dans $\mathbb N$, $S_p(n^2)\leqslant(S_p(n))^2$
3) Le théorème de Wilson ( lorsque le $n$ de l'énoncé est premier).
Amicalement.