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Exercice du dimanche

Envoyé par Breyer 
Exercice du dimanche
il y a douze jours
avatar
Pour ceux intéressés par le renouvellement des exercices. Au détour d'un calcul ennuyeux je suis tombé sur une propriété qui pourrait égayer vos colles ou autres oraux en permettant de s'amuser à la fois avec les déterminants de Cauchy (algèbre) et les nombres premiers (arithmétique).

Soit $M(n)$ la matrice carrée $n\times n$ de terme $m(i,j)=\dfrac{1}{n(i-1)+j}$ et soit $D(n)$ son déterminant.
$1)$ Montrer que $$D(n)=\frac{n^{\tfrac{n(n-1)}{2}}}{(n^{2})!}\left(\prod_{k=1}^{n-1}k!^{2}\right)
$$ $2)$ En déduire que $n\geq5$ est premier si et seulement si $$\frac{n^{\tfrac{(n+1)(n-4)}{2}}}{D(n)}\, \notin\mathbb{N}$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
Re: Exercice du dimanche
il y a six jours
avatar
Autre exemple plus simple utilisant la factorielle du carré. Soit:

$$u(n)=\frac{(n^{2})!}{\left(n!\right)^{n+2}}+\frac{1}{n}$$
alors on a $n\geq2$ qui est premier si et seulement si $u(n)$ est un entier.
Re: Exercice du dimanche
il y a trois jours
Est ce que le théorème de Wilson est utile ici ?
Re: Exercice du dimanche
il y a trois jours
avatar
Voir plutôt les valuations et la formule de Legendre.
Re: Exercice du dimanche
il y a trois jours
Bonsoir,

J'ai pour ma part utilisé les trois ingrédients suivants:
$p$ étant un nombre premier,
1) $v_p(n!)\times(p-1)=n-S_p(n)$ où $v_p$ désigne la valuation $p-$adique et $S_p$ la somme des chiffres en base $p$.
2) Le fait que pour tout $n$ dans $\mathbb N$, $S_p(n^2)\leqslant(S_p(n))^2$
3) Le théorème de Wilson ( lorsque le $n$ de l'énoncé est premier).

Amicalement.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux jours et a été effectuée par LOU16.
Re: Exercice du dimanche
il y a deux jours
avatar
Oui ce sont les ingrédients nécessaires. Wilson seul n'est pas suffisant. On peut aussi s'amuser avec $(n^3)!$.
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