Exercice du dimanche

Pour ceux intéressés par le renouvellement des exercices. Au détour d'un calcul ennuyeux je suis tombé sur une propriété qui pourrait égayer vos colles ou autres oraux en permettant de s'amuser à la fois avec les déterminants de Cauchy (algèbre) et les nombres premiers (arithmétique).

Soit $M(n)$ la matrice carrée $n\times n$ de terme $m(i,j)=\dfrac{1}{n(i-1)+j}$ et soit $D(n)$ son déterminant.
$1)$ Montrer que $$D(n)=\frac{n^{\tfrac{n(n-1)}{2}}}{(n^{2})!}\left(\prod_{k=1}^{n-1}k!^{2}\right)
$$ $2)$ En déduire que $n\geq5$ est premier si et seulement si $$\frac{n^{\tfrac{(n+1)(n-4)}{2}}}{D(n)}\, \notin\mathbb{N}$$