Deux chemins différents.
dans Arithmétique
Bonjour à toute la communauté.
Je me trouve dans une situation un peu incompréhensible, ou peut être ai-je fait une erreur ?...
Lors de l'étude de la rotondité de la Terre nous pouvons être amené à réécrire une relation du type :
$\cos\big(2\arcsin(x)\big)$
#] Premier chemin :
$\cos(2x) = \cos(x)^2 - \sin(x)^2 = 1 - 2\sin(x)^2 $
D'où $\cos\big(2\arcsin(x)\big) = 1 - 2x^2$
Tout va bien, c'est ce qu'on retrouve sur le net.
#] Second chemin :
$\cos(2x) = \sqrt{1-\sin^2(2x)}$
Or $\sin(2x)^2 = \big(\sin(2x)\big)^2= \big(2\cos(x)\sin(x)\big)^2$
Et donc $\cos(2x) = \sqrt{1-4(\cos(x)\sin(x))^2}$
D'où $\cos\big(2\arcsin(x)\big) = \sqrt{1-4\cos\big(\arcsin(x)\big)^2\sin\big(\arcsin(x)\big)^2}$
Et alors on a $\cos\big(2\arcsin(x)\big) = \cos\big(2\arcsin(x)\big) =\sqrt{1-4(1-x^2)x^2}$
Pourtant $ 1 - 2x^2 = \sqrt{1-4(1-x^2)x^2}$ n'est pas vérifiée quelque soit $x$ ...
Où me suis-je trompé ?
Merci d'avance pour votre attention.
Je me trouve dans une situation un peu incompréhensible, ou peut être ai-je fait une erreur ?...
Lors de l'étude de la rotondité de la Terre nous pouvons être amené à réécrire une relation du type :
$\cos\big(2\arcsin(x)\big)$
#] Premier chemin :
$\cos(2x) = \cos(x)^2 - \sin(x)^2 = 1 - 2\sin(x)^2 $
D'où $\cos\big(2\arcsin(x)\big) = 1 - 2x^2$
Tout va bien, c'est ce qu'on retrouve sur le net.
#] Second chemin :
$\cos(2x) = \sqrt{1-\sin^2(2x)}$
Or $\sin(2x)^2 = \big(\sin(2x)\big)^2= \big(2\cos(x)\sin(x)\big)^2$
Et donc $\cos(2x) = \sqrt{1-4(\cos(x)\sin(x))^2}$
D'où $\cos\big(2\arcsin(x)\big) = \sqrt{1-4\cos\big(\arcsin(x)\big)^2\sin\big(\arcsin(x)\big)^2}$
Et alors on a $\cos\big(2\arcsin(x)\big) = \cos\big(2\arcsin(x)\big) =\sqrt{1-4(1-x^2)x^2}$
Pourtant $ 1 - 2x^2 = \sqrt{1-4(1-x^2)x^2}$ n'est pas vérifiée quelque soit $x$ ...
Où me suis-je trompé ?
Merci d'avance pour votre attention.
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Réponses
$\sin^2 (2x)=4\sin^2 x\cos^2 x$
Par ailleurs,
Le calcul que tu essaies de faire n'est vrai que pour $-1\leq x\leq 1$.
PS:
J'ai mal lu. Désolé.
Il me semble que c'est à partir du moment où l'on utilise la fonction arcsin(x) qui est défini sur [-1;1].
$\cos^2(\arcsin x)=(1 - 2x)^2$ (AJOUT: c'est faux)
La dernière ligne de ton calcul me semble fausse.
$\arcsin$ est une fonction définie sur $[-1,1]$
PS:
Il faut que je regarde attentivement ton calcul, et pas entre deux coups de téléphone. :-D
D'où le résultat...
La fonction $x\mapsto 1-4(1-x^2)x^2$ n'est pas positive pour tout $x\in[-1,1]$ ennuyeux si on prétend calculer la racine carrée des valeurs de cette fonction.
"cos(2x) = (1-sin2(2x))(1/2)"
Tu supposes que $\cos(2x)$ est positive pour tout $x$.
PS:
de,
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$
On tire que $\cos^2 t=1-\sin^2 t$
Mais si tu veux obtenir $\cos t=...$ il faut discuter du signe de $\cos t$
Toutefois ici, pour moi, il ne s'agit pas d'un problème d'analyse mais plutôt d’arithmétique.
Pour palier au problème de la racine carrée d'un nombre négatif on peut chercher :
$cos^2(2*arcsin(x))$ au lieu de $cos(2*arcsin(x))$
$cos^2(2x) = (cos^2(x) - sin^2(x))^2= (1 - 2sin^2(x))^2 $
D'où $cos(2*arcsin(x))^2 = (1 - 2x^2)^2$
D'autre part :
$cos^2(2x) = (1-sin^2(2x))$
Or $sin^2(2x) = (2cos(x)sin(x))^2$
Et donc $cos^2(2x)=(1-4(cos(x)sin(x))^2)$
D'où $cos(2arcsin(x)) =(1-4cos^2(arcsin(x))sin^2(arcsin(x)))$
Et alors on a $cos^2(2arcsin(x))= (1-4(1-x^2)x^2)$
N'est-ce pas ?
Or : $(1 - 2x^2)^2 = (1-4(1-x^2)x^2)$
On aboutit finalement à une égalité pour les deux chemins..
Vous avez donc raison, l'erreur est au niveau de la racine carrée.
Merci bien !
@udriss, tu te trompes dans les quantificateurs (que tu omets). Pour travailler sur l'expression $\cos(2 \arcsin x)$ il est bon (mais pas nécessaire) de considérer $x$ comme un nombre réel. Puis on cherche le domaine dans lequel $\arcsin x$ existe. Enfin, lorsque $\cos^2 u = v^2$ on a $\cos u = v$ ou $\cos u = -v$ : tu as choisi la cas positif et tu omets l'autre cas.