Nombres premiers jumeaux sexy cousin

Bonjour
Je pense que cela ne va pas donner grand chose...si tu supprimes 2, 3 et 5 et leurs multiples ("73,3333..% des entiers naturels > 0 "); il te reste les entiers congrus à 1 ou à P (modulo 30) avec P premier [7 ; 29] ; contenant tous les nombres premiers > 5.

Soit 8 familles en progression arithmétique de raison 30... (" 8 courbes ") .

Ce qui te donne en partant de 7, le cycle {4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6} dont la somme vaut 30...

A la tête de ces 8 familles il y a un nombre premier P :
{ 7 ; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31. }.
{37 ; 41; 43; 47; 49; 53; 59; 61. }
etc...etc

Tu peux étudier les 8 courbes; où par famille, les nombres premiers consécutifs sont séparé par un multiple de 30
" multiple de 6 ".....
A part se rendre compte qu'il y a une même densité de nombres premiers par famille, cela n'ira pas bien loin....

Il y a un crible "principe d'Eratosthène" modulo 30 , qui utilise le groupe multiplicatif, de ses 8 premiers nombres premiers...
Crible que l'on peut transformer en crible de Goldbach; où là, on crible les entiers non congrus à 30k modulo P_i ; avec P_i premier, inférieur à le racine carrée de 30k et en criblant jusqu'à 15k...

Donc, cela te donne 3 couples de familles jumelles: 11 et 13 ; 17 et 19 ; 29 et 31....tu peux analyser la répartition des couples de jumeaux , dans ces 3 couples de Familles...

Bonne continuation....

@Npj : il a été démontré récemment (en 2013 je crois) par Zhang qu'il existe une constante $C > 0$ telle qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs distants d'au plus $C$. En corollaire immédiat avec le principe des tiroirs, on obtient l'existence d'un entier pair $k \leq C$ tel que $p_{n+1} = p_n+k$, où $p_n$ désigne le $n$-ième nombre premier. La constante de Zhang était initialement de l'ordre de $70 000 000$, et a été réduite au fur et à mesure grâce à la collaboration de nombreux mathématiciens. James Maynard est arrivé avec une preuve indépendante améliorant encore plus la constante $C$. Aujourd'hui je crois qu'on en est réduit à $C=256$.

Une petite contribution statistique sur la répartition des distances entre nombres premiers de 2 à 999 999 929.

Les deux pdf sont identiques, changent uniquement les valeurs de p : début et fin de la liste.
Deux tableaux et graphiques de répartition sont présentés :
- extrait du tableau de valeurs et représentation graphique 1 : nombre de premiers par distance
- extrait du tableau de valeurs et représentation graphique 2 : nombre de premiers par tranche de nombres premiers et distance.
Tout ceci est probablement déjà connu, mais l'exercice de manipulation des données est sympathique.
Dav

J'en pense que tu ne définis pas ce dont tu parles, de quelles "courbes" parles-tu ?

Info du web :
Le volet III sur "Images de maths" https://goo.gl/BsLEf2 parle du projet polymath ; ainsi la collaboration publique concernant les espaces délimités entre les nombres premiers :
https://polymathprojects.org/2013/06/04/polymath-proposal-bounded-gaps-between-primes/
https://arxiv.org/pdf/1409.8361v1.pdf
ou
https://translate.google.fr/translate?sl=en&tl=fr&js=y&prev=_t&hl=fr&ie=UTF-8&u=https://arxiv.org/pdf/1409.8361v1.pdf&edit-text=&act=url

Aucune idée ... une incidence au fait que les premiers soient de la forme 6n+/-1 (6n meilleur tri qu'avec 2n et 4n) ?

Ça a sûrement un lien avec ce qui est prédit par la conjecture de Bateman-Horn : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Bateman-Horn

$6$ a deux facteurs premiers distincts, et pas $2$ et $4$ donc en effet on s'attend à ce qu'il y ait plus de sexy que de jumeaux ou cousins.

Voir aussi les travaux de Marek Wolf sur les "jumping champions".

@Npj : la conjecture de Bateman-Horn prédit asymptotiquement la répartition de certains types de nombres entiers. En considérant les polynômes $f_1=X$ et $f_2=X+6$, la condition qu'ils prennent simultanément des valeurs premières veut dire que $p$ et $p+6$ sont premiers, donc la formule prédite donne asymptotiquement le nombre de nombres premiers sexys inférieurs à $x$. De même, en prenant $f_1=X$ et $f_2=X+4$, on compte les cousins par exemple. Dans la formule (conjecturale) pour la répartition de ces nombres, il y a un facteur $C$, donné par un certain produit infini. Dans les cas de $f_1=X$ et $f_2=X+2$ ou $X+4$ ce produit est le même (car $2$ est le seul diviseur premier de $2$ et de $4$), tandis que pour $f_1=X$ et $f_2=X+6$, ce produit est un peu plus grand à cause du facteur correspondant à $p=3$ !

@Poirot (tu)

@davlegrave. Au moins vous reconnaissez que l'observateur s'est aperçu assez récemment que la physique s'appuyait sur des nombres entiers, tout comme le montrent les unités de Planck et ces puissances qui affectent les constantes. C'est tout à fait remarquable et suggère que les horizons physique et mathématique pourraient se rejoindre.