Comment trouver un nombre premier?

A coup sûr :
Multiplier entre eux les nombres premiers consécutifs, en commençant par 2. La liste peut être aussi longue que l'on veut, que l'on peut. Ceci fait, ajouter 1.

Un nombre "au hasard" (ie. pris aléatoirement uniformément entre $1$ et $N$) a (quand $N \to \infty$) une probabilité qui tend vers $\frac{1}{\log N}$ d'être premier.
C'est le théorème des nombres premiers : $\frac{\pi(N)}{N} \sim \frac{1}{\log N}$.

Maintenant si tu prends un nombre $n$ uniformément entre $1$ et $N$ mais uniquement parmi ceux qui sont premiers avec $m$ où $m! \le N$, alors (quand $\frac{N}{m!} \to \infty$) tu obtiens une probabilité qui tend vers $\displaystyle \frac{\pi(N)-\pi(m)}{\frac{\phi(m!)}{m!}N} \sim \frac{\frac{N}{\log N}-\frac{m}{\log m}}{m! N\prod_{p \le m} (1-\frac{1}{p})}\sim \frac{\frac{N}{\log N}-\frac{m}{\log m}}{ N\frac{e^{-\gamma}}{ \log m}}\ $ que $n$ soit premier.

Peut-être que l'on obtient jamais de nombre premier comme ça ?

Bonjour,

C'est la description de la preuve classique par Euclide que les nombres premiers sont en nombre infini. Il faut bien sûr veiller à commencer par 2 et à ce qu'il n'y ait pas de trous. Pour cela il faut avoir déterminé les "petits" nombres premiers, d'où le "que l'on peut".
Je ne prétends pas que cela fournisse tous les nombres premiers.
Ai-je commis une erreur ?

Amicalement

Oui, merci à Poirot d'avoir questionné mon affirmation et à FdP d'avoir pointé précisément l'erreur.
Encore une illusion qui s'effondre !

En pratique, la réponse de Reuns suggère que pour trouver efficacement un nombre premier, on tire un nombre au hasard et on regarde s'il est premier. Ce qui compte, c'est donc d'avoir des bons tests de primalité.