Le nombre exact de solutions de $ax^2+py=n$

Désolé je viens de rajouter la correction "entiers positifs"

Ensuite pour répondre à ta question, tu peux en effet traiter deux cas: $p$ divise $a$ et $p$ ne divise pas $a$.

Al-Kashi

Bonjour,

Je dois avouer que la solution n'est pas simple, j'ai pas mal cherché, je vous souhaite une excellente recherche.

Au passage si quelqu'un a des articles autour de ce sujet je suis preneur

Al-Kashi

Bonjour,

La solution ce week-end si cela vous intéresse toujours.

Al-Kashi

En attendant, tu peux encore chercher Tonm, je t'assure qu'une formule close existe.

Al-Kashi

Bonsoir,

Je n'ai toujours rien trouvé sur le net à propos de cet exercice.Je vous propose donc ce résultat, il me semble inédit.

Je corrige le cas général à savoir le nombre de solutions entières positives de l'équation avec $p$ premier:
$$ax^{2}+bx+py=n$$
Sans perte de généralité nous supposons $a$, $b$ et $p$ premiers entre eux deux à deux.

Dans tout ce qui suit:
-On notera $a^{-1}$ l'inverse de $a$ modulo $p$
-On notera $(v)_{p}$ le reste de la division euclidienne de $v$ par $p$
Voici le plan de la démonstration:

1) On traite tout d'abord le cas élémentaire $p=2$ laissé au lecteur
2) Supposons à présent que $p>2$. Nous avons les trois cas suivants:

a) Si $ (4an+b^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 $ $(p)$ alors l'équation n'admet aucune solution
b) Si $ (4an+b^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 0$ $(p)$ alors l'équation admet exactement :
$$\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{4an+b^{2}} - (2a(-(2a)^{-1}b)_{p}+b)}{2ap}\Big\rfloor+1$$
ou $0$ solution dans le cas où la valeur ci-dessus est négative.
c) Si $ (4an+b^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 $ $(p)$ alors en posant $r^2\equiv4an+b^2 (p)$ l'une des deux solutions, l'équation admet exactement:
$$\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{4an+b^{2}} - (2a(-(2a)^{-1}(r-b))_{p}+b)}{2ap}\Big\rfloor+\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{4an+b^{2}} - (2a(-(2a)^{-1}(-r-b))_{p}+b)}{2ap}\Big\rfloor+2$$
ou $0$ solution dans le cas où la valeur ci-dessus est négative.

Il est possible d'alléger les formules exactes pour obtenir des formules simples avec des erreurs de $2$ unités au maximum.

Je donnerai la dernière si vous validez déjà les deux premières histoire de ne pas passer pour un guignol ::o

Edit 1: Il manquait un +1 dans le cas b)
Edit 2: C'est souvent quand on commence à poster que l'on retrouve les coquilles: il y avait un terme en trop dans la racine carrée.
Edit 3: Allez je me mouille pour le cas c) en espérant ne pas avoir raconté trop de bêtises.
Al-Kashi

Pour répondre à ta question Tonm, pour le cas dont tu parles il n'est pas nécessaire de faire de longs calculs, il suffit de remarquer que $x$ est nécessairement un multiple de $3$ et le problème devient élémentaire.

Al-Kashi

Si, les formules juste au dessus sont bien closes et répondent au problème posé.

Al-Kashi

Ce sont les seuls cas possibles d'après le petit théorème de Fermat.

Al-Kashi