Le nombre exact de solutions de $ax^2+py=n$
dans Arithmétique
Bonjour,
Toujours dans mes équations diophantiennes, j'ai trouvé une élégante démonstration donnant le nombre de solutions entières édit: positives de l'équation :
Je vous propose donc de la chercher en exercice.X:-(
Bonne recherche
On pourra ensuite établir une formule générale que je considère moins close pour les raisons que j'évoquerai, dans le cas général ou $p$ n'est pas premier.
Bien évidemment si un tel résultat existe n'hésitez pas à me le signaler, cela m'évitera de réinventer l'eau chaude :-)
Al-Kashi
Toujours dans mes équations diophantiennes, j'ai trouvé une élégante démonstration donnant le nombre de solutions entières édit: positives de l'équation :
$ax^2+py=n$
où $a$ et $n$ sont entiers édit: positifs et $p$ un nombre premier.Je vous propose donc de la chercher en exercice.X:-(
Bonne recherche
On pourra ensuite établir une formule générale que je considère moins close pour les raisons que j'évoquerai, dans le cas général ou $p$ n'est pas premier.
Bien évidemment si un tel résultat existe n'hésitez pas à me le signaler, cela m'évitera de réinventer l'eau chaude :-)
Al-Kashi
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Réponses
Ensuite pour répondre à ta question, tu peux en effet traiter deux cas: $p$ divise $a$ et $p$ ne divise pas $a$.
Al-Kashi
si p est premier, on sait que ap² - p=p! (Wilson) ; on a la solution x=p et y=-1, n=p!
[John Wilson (1741-1793) prend toujours une majuscule. AD]
il faut x² = n/a mod(p)
GaBuZoMeu l'avait écrit de fait.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_réciprocité_quadratique ?
x² = n/a mod(p)
p divise (x-sqrt(n/a))(x+sqrt(n/a))...?
(a,p)= (1,2),(1,3),(,5,5) et n=2,6,120
Je dois avouer que la solution n'est pas simple, j'ai pas mal cherché, je vous souhaite une excellente recherche.
Au passage si quelqu'un a des articles autour de ce sujet je suis preneur
Al-Kashi
Pour ceux qui s'approchent de la solution, sachez que je viens aussi de déterminer le nombre exact de solutions du problème plus général suivant : $$ ax^2+bx+py=n
$$ J'ai fait pas mal de recherches sur le net mais je n'ai pas réussi à mettre la main sur un quelconque article traitant de ce sujet.
En tout cas j'ai apprécié ce problème que je me suis posé et dont j'ai réussi à trouver le résultat.
Al-Kashi
$ax^n+by=m$
ait soit pas de solution entière soit le même nombre de solution que $ax+by=m$
un peu plus compliqué
Excuses
...
Un peu plus compliqué oui, mais avec du recul et avec la solution sous les yeux, je dirai que c'est un exercice assez sympa et abordable avec de l'arithmétique élémentaire.
Le problème plus général demande un petit peu plus de travail.
Al-Kashi
La solution ce week-end si cela vous intéresse toujours.
Al-Kashi
Mieux pour toi.
Pas de heine.
Cordialement.
Al-Kashi
Bonsoir.
Mais quel est ce nombre pour $7x^2+3y=5940$?
Je n'ai toujours rien trouvé sur le net à propos de cet exercice.Je vous propose donc ce résultat, il me semble inédit.
Je corrige le cas général à savoir le nombre de solutions entières positives de l'équation avec $p$ premier:
$$ax^{2}+bx+py=n$$
Sans perte de généralité nous supposons $a$, $b$ et $p$ premiers entre eux deux à deux.
Dans tout ce qui suit:
-On notera $a^{-1}$ l'inverse de $a$ modulo $p$
-On notera $(v)_{p}$ le reste de la division euclidienne de $v$ par $p$
Voici le plan de la démonstration:
1) On traite tout d'abord le cas élémentaire $p=2$ laissé au lecteur
2) Supposons à présent que $p>2$. Nous avons les trois cas suivants:
a) Si $ (4an+b^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1 $ $(p)$ alors l'équation n'admet aucune solution
b) Si $ (4an+b^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 0$ $(p)$ alors l'équation admet exactement :
$$\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{4an+b^{2}} - (2a(-(2a)^{-1}b)_{p}+b)}{2ap}\Big\rfloor+1$$
ou $0$ solution dans le cas où la valeur ci-dessus est négative.
c) Si $ (4an+b^2)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 $ $(p)$ alors en posant $r^2\equiv4an+b^2 (p)$ l'une des deux solutions, l'équation admet exactement:
$$\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{4an+b^{2}} - (2a(-(2a)^{-1}(r-b))_{p}+b)}{2ap}\Big\rfloor+\Big\lfloor\dfrac{\sqrt{4an+b^{2}} - (2a(-(2a)^{-1}(-r-b))_{p}+b)}{2ap}\Big\rfloor+2$$
ou $0$ solution dans le cas où la valeur ci-dessus est négative.
Il est possible d'alléger les formules exactes pour obtenir des formules simples avec des erreurs de $2$ unités au maximum.
Je donnerai la dernière si vous validez déjà les deux premières histoire de ne pas passer pour un guignol ::o
Edit 1: Il manquait un +1 dans le cas b)
Edit 2: C'est souvent quand on commence à poster que l'on retrouve les coquilles: il y avait un terme en trop dans la racine carrée.
Edit 3: Allez je me mouille pour le cas c) en espérant ne pas avoir raconté trop de bêtises.
Al-Kashi
J'ai apprécié ce problème et espère que celui-ci vous a plu.
A présent, je ne sais pas ce que cela vaut, un simple post sur un forum c'est déjà bien, une petite page sur une revue pour amateur?
Al-Kashi
Al-Kashi
Merci.
Courage.
Al-Kashi
Al-Kashi
Pour le cas c) tu pourrais être plus clair.
Mais merci.
Il suffit de remarquer que le carré de $t^{\frac{p-1}{2}} $ vaut $t^{p-1} $ modulo $p$. Ce dernier vaut soit $0$ soit $1$ d'après le petit théorème de Fermat.
Or les seuls carrés donnant $1$ modulo $p$ sont $1$ et $-1$
Il n'y a donc que les trois cas à traiter.
Al-Kashi