Problème de somme

Yahya_Sef · December 2017

Bonjour,
Quelqu'un que je connais a demandé de l'aide pour la chose que vous allez voir en photo, je ne sais pas comment procéder pour la résoudre franchement, un peu d'aide serait le bienvenu.
PS : Désolé c'est mon premier post sur le forum alors si je poste dans le mauvais endroit,dites-le moi ! 70568

gerard0 · December 2017

Bonjour.

deux remarques pour simplifier la somme double :
*(i-j)²=(j-i)²
* On peut éliminer les cas i=j.

On est ramené à une somme bien particulière (essaye avec n = 5, par exemple).

Cet énoncé est assez bizarre : Quelle sont les inconnues ? A priori n et B ? Et pourquoi n<600 ?

Cordialement.

Fin de partie · December 2017

Tu cherches les $n$ tels que $\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i-j)^2$ est un carré?

PS:
Si j'ai bien compris la question et si on suppose que $n<600$ alors $n=1,5,49,485$

PS2:
Par ailleurs,

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i-j)^2=\frac{1}{6}n^2(n^2-1)$

Guego · December 2017

Si on ne se limite pas à $n<600$, il y a une infinité de solutions. En notant $S(n)$ la double somme, alors, pour tout $n\in \N$, on a $S(x_n) = (x_ny_n)^2$ où $(x_n)$ et $(y_n)$ sont les suites définies par $x_0 = 1$, $y_0 = 0$ et $\left\lbrace \begin{array}{ccccc} x_{n+1} & = & 5x_n & + & 12 y_n \\ y_{n+1} & = & 2x_n & + & 5y_n\end{array} \right.$.

Chaurien · December 2017

Bravo Guego.
Explication. Remplaçant $n$ par $x$, l'équation s'écrit : $x^2(x^2-1)=6z^2$. La clé, c'est que $x$ n'est divisible ni par $2$ ni par $3$, donc est premier avec $6$. Il en résulte que $x$ divise $z$, d'où : $z=xy$, et l'équation devient : $x^2-1=6y^2$, ou : $x^2-6y^2=1$.
C'est une équation de Fermat-[size=x-small]«Pell»[/size]. Les solutions sont données par les unités de l'anneau $\mathbb Z[\sqrt 6]$, dont l'unité fondamentale est : $5+ 2 \sqrt 6 $. Ces solutions sont donc les $(x_n,y_n)$ tels que : $x_n+y_n \sqrt 6 = (5+2 \sqrt 6)^n $, qui donne la récurrence de Guego.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Fin de partie · December 2017

Pourquoi $x$ n'est ni divisible par $2$ ou pas $3$?

on a:

$x^2(x^2-1)=6z^2$

$x^2$ et $x^2-1$ sont premiers entre eux puisque $x^2-(x^2-1)=1$.

Ainsi, SI $2$ divise $x$ alors il divise aussi $x^2$ mais ne divise pas $x^2-1$.

donc si on écrit $x^2(x^2-1)$ comme un produit de nombres premiers l'exposant de $2$ est un nombre pair non nul.
Tandis que l'exposant de $2$ dans la factorisation de $6z^2=2\times 3\times z^2$ est un nombre impair. On a une contradiction donc $2$ ne divise par $x$.

Ce qui est vrai pour $2$ l'est aussi pour $3$.

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