Un problème canadien sur les nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
en 2015 le problème n°5 de l'Olympiade mathématique du Canada était le suivant : soit $p$ un nombre premier tel que $\dfrac{p-1}{2}$ soit aussi un nombre premier, et soient $a,b$ et $c$ des entiers qui ne sont pas divisibles par $p$. Montrer qu'il existe au plus $1+\sqrt{2p}$ entiers strictement positifs $n$ tels que $n<p$ et que $p$ soit un diviseur de $a^n+b^n+c^n$.
La solution officielle (proposée par le jury) est publiée ici
J'ai bien compris le début de la solution, mais lorsqu'on arrive à la phrase :
if $c^t\equiv a^t\pmod p$ then this implies $c^t\equiv b^t\pmod p$ as well, so $(ab^{-1})^t\equiv 1\pmod p$, etc. Il y a quelque chose qui m'échappe ou peut-être alors que la preuve présentée manque de précision. Il me semble (sauf erreur de ma part) qu'il est possible que ni $c^t-a^t$ ni $b^t-c^t$ ne soit divisible par $p$. Merci de m'éclaircir.
Cordialement,
Yan2
en 2015 le problème n°5 de l'Olympiade mathématique du Canada était le suivant : soit $p$ un nombre premier tel que $\dfrac{p-1}{2}$ soit aussi un nombre premier, et soient $a,b$ et $c$ des entiers qui ne sont pas divisibles par $p$. Montrer qu'il existe au plus $1+\sqrt{2p}$ entiers strictement positifs $n$ tels que $n<p$ et que $p$ soit un diviseur de $a^n+b^n+c^n$.
La solution officielle (proposée par le jury) est publiée ici
J'ai bien compris le début de la solution, mais lorsqu'on arrive à la phrase :
if $c^t\equiv a^t\pmod p$ then this implies $c^t\equiv b^t\pmod p$ as well, so $(ab^{-1})^t\equiv 1\pmod p$, etc. Il y a quelque chose qui m'échappe ou peut-être alors que la preuve présentée manque de précision. Il me semble (sauf erreur de ma part) qu'il est possible que ni $c^t-a^t$ ni $b^t-c^t$ ne soit divisible par $p$. Merci de m'éclaircir.
Cordialement,
Yan2
Réponses
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Bonjour,
Il me semble que ce qui est écrit est: $\text{si}\:\: c^t\equiv a^t \bmod p, \:\:\text{alors ... contradiction}$.
Ainsi $c^t$ n'est pas congru à $a^t...$.
Amicalement, -
Oupps!!
8-)ce matin je me suis levé du pied gauche -
Bonsoir,
je ne sais pas pourquoi, mais j'ai toujours des doutes sur cette preuve.
Si $i$ et $j$ sont dans $S$ alors les deux congruences qui les mettent dans $S$ conduisent à la relation :
$a ^ i (c ^ t - a ^ t) \equiv b ^ i (b ^ t - c ^ t)$, avec laquelle je suis d'accord. À ce stade, deux options se présentent :
(1) Au moins l'une de $c ^ t \equiv a ^ t$ ou $c ^ t \equiv b ^ t$ se produit, auquel cas
les deux sont vraies et $(ab ^ {- 1}) ^ t \equiv 1$ et vous avez au plus deux solutions;
(2) Ni l'une ni l'autre ne se produit.
La première option (1) ne me semble pas exclue et conduit effectivement à la conclusion sur le nombre de solutions. En fait, ils ne supposent pas dans leur preuve que $c ^ t$ n'est pas congru à $a ^ t$.
La deuxième option (2) n'a pas été traitée, et elle peut très bien se produire.
Merci. -
J'ai du mal à voir ce qui ne va pas dans la preuve donnée:
Il est d' abord traité le cas où $ab^{-1} \equiv \pm 1 \bmod p$.
Dans le cas contraire, $c^t - a^t \:\:\text{et}\:\: c^t - b^t$ ne peuvent être nuls car cela entrainerait :
" $(ab^{-1})^t \equiv 0 \bmod p$" puis, " $q$ divise $t$ ". ($1$ et $ -1$ sont les seuls élément d'ordre $1$ ou $ 2$ dans le groupe multiplicatif de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*$)
Ainsi le lemme (qui ne concerne que le cas où $ab^{-1} \neq \pm1 \bmod p$) me semble correct.
Amicalement,
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Bonjour!
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