résidus quadratiques et sommes de Gauss
dans Arithmétique
Bonjour à tous
Soit $p$ un nombre premier impair avec $p \equiv 1 \pmod 4$.
Alors $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$.
Dans l'expression :
\begin{equation}
S=1+2\sum_{m=1}^{(p-1)/2}e^{2\pi ir_m/p}
\end{equation}
les $r_1, r_2, \ldots, r_{\frac{p-1}{2}}$ sont les $\displaystyle \frac{p-1}{2}$ résidus quadratiques modulo $p$.
Puisque $-1$ est résidu quadratique $\pmod p$, cet ensemble de nombres est congruent modulo $p$ à l'ensemble des $\displaystyle -r_1, -r_2,\ldots,-r_{\frac{p-1}{2}}$.
Dans les sommes trigonométriques, quand $m \equiv m' \pmod n$ :
\begin{equation}
e\big(\frac{m}{n}\big)=e\big(\frac{m'}{n}\big)
\end{equation} Par conséquent : \begin{equation}
S=1+2\sum_{m=1}^{(p-1)/2}e^{-2\pi ir_m/p} = \overline{S}.
\end{equation}
On en déduit que la somme $S$ est réelle puisqu'elle est égale à son conjugué.
J'ai du mal à m'expliquer pourquoi le fait que $-1$ soit résidu quadratique modulo $p$ implique que les $\displaystyle \frac{p-1}{2}$ résidus quadratiques $r_i$ soient congruents à leurs opposés.
Cela est-il lié au théorème de Wilson ?
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Soit $p$ un nombre premier impair avec $p \equiv 1 \pmod 4$.
Alors $-1$ est un résidu quadratique modulo $p$.
Dans l'expression :
\begin{equation}
S=1+2\sum_{m=1}^{(p-1)/2}e^{2\pi ir_m/p}
\end{equation}
les $r_1, r_2, \ldots, r_{\frac{p-1}{2}}$ sont les $\displaystyle \frac{p-1}{2}$ résidus quadratiques modulo $p$.
Puisque $-1$ est résidu quadratique $\pmod p$, cet ensemble de nombres est congruent modulo $p$ à l'ensemble des $\displaystyle -r_1, -r_2,\ldots,-r_{\frac{p-1}{2}}$.
Dans les sommes trigonométriques, quand $m \equiv m' \pmod n$ :
\begin{equation}
e\big(\frac{m}{n}\big)=e\big(\frac{m'}{n}\big)
\end{equation} Par conséquent : \begin{equation}
S=1+2\sum_{m=1}^{(p-1)/2}e^{-2\pi ir_m/p} = \overline{S}.
\end{equation}
On en déduit que la somme $S$ est réelle puisqu'elle est égale à son conjugué.
J'ai du mal à m'expliquer pourquoi le fait que $-1$ soit résidu quadratique modulo $p$ implique que les $\displaystyle \frac{p-1}{2}$ résidus quadratiques $r_i$ soient congruents à leurs opposés.
Cela est-il lié au théorème de Wilson ?
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Réponses
Je passe maintenant à l'étape suivante: trouver le signe de $S = \pm \sqrt p$.
Il est connu depuis 1805, que la réponse à cette question est: $+$.
Bonne journée.
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