Pas de solutions entières
dans Arithmétique
Bonsoir,
Comment montrer que $3x^2+2 = y^2$ n'a pas de solutions entières ? J'ai pensé aux congruences, j'en suis à $x^2 \equiv y^2 [2]$, ensuite $(x-y)(x+y) \equiv 0 [2]$, donc $2$ divise l'un ou l'autre, mais après ? Déja est-ce un bon début ?
Edit : par l'aburde, bien entendu
Comment montrer que $3x^2+2 = y^2$ n'a pas de solutions entières ? J'ai pensé aux congruences, j'en suis à $x^2 \equiv y^2 [2]$, ensuite $(x-y)(x+y) \equiv 0 [2]$, donc $2$ divise l'un ou l'autre, mais après ? Déja est-ce un bon début ?
Edit : par l'aburde, bien entendu
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Réponses
On peut aussi essayer une congruence modulo 3, ou 4 ou ...
l'idée est la bonne modulo 3 : $y^2\equiv 2 [3]$ et on teste $y=0$ puis 1 puis 2 et le tour est joué ! Quant au donc évoqué vous passez d'une congruence à une égalité... ce n'est guère élégant.
Si je vous suis : $3x^2=y^2-1=2+3k-1=3k-1$, $k\in \mathbb{Z}$, cela fonctionne et la conclusion est correcte.
Cordialement.
Merci de vos réponses. Même questions avec $x^2 + y^2 = 2003$, sauf que ce coup-ci $2003$ est premier, j'ai donc l'impression qu'on ne peut pas faire mieux que $x^2 + y^2 \equiv 0 [2003]$ et ça n'est pas très pratique ! Là par contre j'ai peu d'idée...
Visiblement c'est un théorème du à Fermat, désolé pour ma méconnaissance du sujet ! Bonne journée !
Il existe $y' \in \mathbb Z / p \mathbb Z $ tel que : $yy'=1$.
L'égalité $x^2+y^2=0$ dans $\mathbb Z / p \mathbb Z $ implique : $x^2 y'^2 +y^2y'^2=0$. Si $z=xy'$ alors : $z^2+1=0$, soit : $z^2=-1$, et par suite : $z^4=1$. L'élément $z$ est donc d'ordre $4$ dans le groupe multiplicatif $(\mathbb Z / p \mathbb Z)^ \times $ des éléments non nuls du corps commutatif $\mathbb Z / p \mathbb Z $. Ce groupe étant d'ordre $p-1$, on en conclut : $p-1=4k$.
Ce qui prouve qu'un nombre premier somme de deux carrés entiers est nécessairement de la forme $4k+1$.
La réciproque est un peu plus difficile, c'est le théorème de Fermat de Noël 1640, pour moi le plus beau théorème du génial Occitan.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Il est peut-être bon de regarder de nouveau la solution évoquée par moduloP dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1583210,1583356#msg-1583356. Il dit (sans le dire vraiment) qu'un entier $m$ (pas nécessairement premier) somme de deux carrés vérifie $m \ne 3 \bmod 4$. Justification : les carrés dans $\Z/4\Z$ sont $0, 1$ et donc en les additionnant ...
Le post de moduloP donne une indication (discrète) à l'intention du questionneur. Il n'est peut-être pas utile de fournir un ``corrigé'' complet comme dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1583210,1583358#msg-1583358 , http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1583210,1583360#msg-1583360 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1583210,1583472#msg-1583472. Si ?