Arithmétique et Logique
dans Arithmétique
Bonjour j'ai un exercice je ne sais pas vraiment si c'est la logique ou l'Arithmétique.
Soient $a, b, n$ des entiers non nuls tels que $n=a^4=b^6$. Alors il existe, il existe un entier $c$ tel que \begin{align*}
A) \quad n&=c^{36} \\
\quad n&=c^{24} \\
C) \quad n&=c^{16} \\
D)\quad n&=c^{12} \\
E)\quad n&=c^{10} \\
F)\quad n&=c^8
\end{align*} Merci d'avance pour votre aide.
[Ai-je bien retranscrit l'énoncé en LaTeX ? AD]
Soient $a, b, n$ des entiers non nuls tels que $n=a^4=b^6$. Alors il existe, il existe un entier $c$ tel que \begin{align*}
A) \quad n&=c^{36} \\
\quad n&=c^{24} \\C) \quad n&=c^{16} \\
D)\quad n&=c^{12} \\
E)\quad n&=c^{10} \\
F)\quad n&=c^8
\end{align*} Merci d'avance pour votre aide.
[Ai-je bien retranscrit l'énoncé en LaTeX ? AD]
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Réponses
n=c36
n=c24
n=c16
n=c12
n=c10
n=c8
Néanmoins comment tu fais pour avoir ce résultat
du coup $12$
Énoncé incompréhensible. Condition sur $c$ ? Si $c=b$ alors l'exposant est $6$...
l'énoncé est en effet incompréhensible
tel qu'il est exposé par Steph-ntic
je suppose que l'auteur demande de trouver l'entier c
pour chacune des 6 valeurs de n proposées
(et non pas pour les puissances de c)
cordialement
Comme vous on n'a aussi pas compris ce que le prof demandait.
Exemple de résultat pour a et b naturels (ou pas ?) : https://goo.gl/5m7B6V
AD
[Alors je corrige l'écriture de l'énoncé. AD]
Alors on peut écrire $a=da_1$ et $b=db_1$ avec $\mathrm{pgcd}(a_1,b_1)=1.$
Tu remplaces : $a^4=d^4a_1^4=b^6=d^6b_1^6$.
Tu simplifies : $a_1^4=d^2b_1^6$.
Là, puisque $a_1$ et $b_1$ sont premiers entre eux, tu appliques le lemme de Gauss, donc $a_1^4$ divise $d^2$. Comme on est dans $\mathbb N$, tu en déduis que
$a_1^2$ divise $d$, tu poses donc $d=d_1a_1^2$, tu remplaces etc.
Je te laisse continuer (en te souvenant qu'on est dans $\mathbb N$ et donc que $xy=1$ impose $x=y=1$).
Alain
Je vais essayer de continuer au final je dois avoir la puissance de c, c'est ça???
On a donc a4=d14a18a14=a112.
Ensuit on a b6=d16a112b16=a112.
On pose donc a1=c donc on a
n=a4=b6=c12
La prochaine fois essaye d'avoir un énoncé complet (précisant entre autres que c'est un QCM !).
Alain