Ramification d'une extension non galoisienne

killersmile38
killersmile38
dans Arithmétique
Bonjour,
étant à Paris sans PARI, j'aimerais savoir si quelqu'un a sous le coude un ou deux exemples d'une extension $L/\mathbb{Q}$, nécessairement non galoisienne, où les premiers $p$ qui se ramifient le sont avec des indices de ramification différents. Si en sus, il y a aussi la décomposition de la différente de $L/\mathbb{Q}$ et le discriminant, ça serait top.
Merci !

Réponses

  • moduloP
    moduloP
    $x^3-x-1$ avec décomposition en $23$ de type $(2,1)$. Discriminant $-23$
    $x^3+x^2+1$ avec décomposition en $31$ de type $(2,1)$ aussi. discriminant $-31$.
  • killersmile38
    killersmile38
    Merci !
  • moduloP
    moduloP
    $ \def\OK{\mathcal O_K}$ Salut Killersmile,
    J'ai répondu rapidement car pas trop le temps. Mais j'espère que j'ai bien compris la question pour la première extension : je voulais dire que
    $$(23) \OK = \mathfrak{p}_1^{2} \mathfrak{p}_2 \qquad \qquad \mathfrak{p}_1 := \langle x+10, 23 \rangle \qquad \qquad \mathfrak{p}_2 := \langle x+3, 23 \rangle$$
    J'ai pris ça par rapport a l'autre fil, mais tu voulais plusieurs $p$ en bas qui se ramifient ou plusieurs $\mathfrak{p}$ se ramifiant (en haut). (ici le polynôme décrit bien l'anneau des entiers). (Je pense que c'est aussi le cas du second exemple ?).

    D'ailleurs c'est pas évident de trouver des exemples : je ne sais pas trop si on se donne "des données de ramification", est ce que l'on peut trouver une extension de $\Q$ qui les vérifient. Je vais réfléchir pour construire un exemple un peu plus gros.
  • noix de totos
    noix de totos
    Autres exemples, de degrés $> 3$ :

    1. $K$ défini par $P = X^5+X^2-1$, $d_K= 3017 = 7 \times 431$ et
    $$(7) = \mathfrak{p}_{7}^2 \mathfrak{q}_7 \quad \textrm{et} \quad (431) = \mathfrak{p}_{431}^2 \mathfrak{q}_{431} \mathfrak{r}_{431}.$$
    2. $K$ défini par $P =X^6+X^4+X^3+1$, $d_K= -43063$ et
    $$(43063) = \mathfrak{p}_{43063}^2 \mathfrak{q}_{43063}.$$
    3. $K$ défini par $P=X^7+X+4$, $d_K = -3373278784 = -2^6 \times 52707481$ et
    $$(2) = \mathfrak{p}_{2}^2 \mathfrak{q}_{2} \mathfrak{r}_{2}^{2}.$$
  • killersmile38
    killersmile38
    Super ! Je vais pouvoir bien m'amuser avec tout ça (:D
  • killersmile38
    killersmile38
    Y a moyen d'abuser, et de demander une extension avec au moins un $p$ ramifié sauvagement, et où les exposants des des $e_\mathfrak{p}$ qui sont $>1$ sont distincts ? un truc du genre $(2)=\mathfrak{p}_1^2\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3^3$ par exemple...
  • noix de totos
    noix de totos
    $P=X^6-2X^3-X^2+58X-88$, avec $d_K = 593^3$ et $(593) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2^2 \mathfrak{p}_3^3$.
  • moduloP
    moduloP
    Je pense que ce n'est pas sauvagement ramifiée, Noix de Totos.

    Bon j'ai trouvé ça : $x^3-3x+10$ et la décomposition de $2$ est $\mathfrak{p}^2 \mathfrak{q}$. Elle est aussi ramifié en $3$ mais de manière totale.
  • gai requin
    gai requin
    Quelle est la définition d'un premier $p$ ramifié sauvagement ?
  • killersmile38
    killersmile38
    Il existe un $\mathfrak{p}$ au-dessus de $p$ tel que $p\mid e_\mathfrak{p}.$

    [Edit: correction suite au message de moduloP]
  • moduloP
    moduloP
    La caractéristique résiduelle divise l'indice de ramification. En gros : $(31) = \mathfrak{p}^{62} \mathfrak{q}^{13}$ est sauvagement ramifiée en $\mathfrak{p}$ ($31$ divise $62$) mais pas en $\mathfrak{q}$. (Je pense que c'est ça).
  • moduloP
    moduloP
    mince ! Je me suis trompé alors :)
  • gai requin
    gai requin
    Merci killersmile38.
    Donc $593$ n'est pas ramifié sauvagement dans l'exemple de noix de totos.
  • killersmile38
    killersmile38
    J'explique un peu plus pour ceux qui ne connaissent pas ce genre de trucs.
    $\newcommand{\qq}{\mathbb{Q}}$
    $\newcommand{\pp}{\mathfrak{p}}$
    $\newcommand{\oo}{\mathcal{O}}$
    $\newcommand{\zz}{\mathbb{Z}}$
    $\newcommand{\dd}{\mathcal{D}}$
    Soit $L/\qq$ une extension finie. L'ensemble $\{ x\in L\mid \mathrm{Tr}_{L/\qq}(xy)\in\zz \ \mbox{pour tout }y\in\oo_L\}$ est un idéal fractionnaire, dont l'inverse $\dd_L$ est un idéal de $\oo_L$, appelée la différente de $L$. Cet idéal est très important, puisque ses diviseurs premiers sont exactement les idéaux premiers au-dessus des nombres premiers $p$ qui se ramifient. De plus, on a la relation $\vert d_L \vert=N_{L/\qq}(\dd_L)$, où $d_L$ est le discriminant de $L.$

    Si on pose $d_\pp=v_\pp(\dd_L)$, alors on sait que $d_\pp\geq e_\pp-1$, et surtout on montre que $d_\pp=e_\pp-1$ si, et seulement si $p\nmid e_\pp$. Dans le cas où il existe un $\pp$ pour lequel $p\mid e_\pp$, on dit que la ramification est sauvage, sinon on dit qu'elle est modérée.


    [Edit: correction suite au message de moduloP]

    En fait, on parle plutôt de ces notions là lorsque $L/\qq$ est galoisienne, car dans ce cas, tous ces entiers ne dépendent que de $p$ , et pas de $\pp$.
  • moduloP
    moduloP
    T'es vraiment certain pour la ramification sauvage ? Je pense que dans le livre de Samuel la condition est bien $p$ ne divise pas $e_i$. c'est page 113.
  • killersmile38
    killersmile38
    oui pardon. J'ai confondu avec l'exposant dans la différente, je corrige dans mes deux posts.
  • moduloP
    moduloP
    En utilisant, le lien entre discriminant est différente et si je me suis pas trompé on doit avoir $\mathfrak{d} = \mathfrak{p}^3 \mathfrak{q} ^ 4$ avec $\mathfrak{p}$ de norme $2$ et $\mathfrak{q}$ de norme $3$. (Avec le polynôme $x^3-3x+10$).

    Tu as un moyen de vérifier ? Avec les $p$-adiques pour faire des calculs (je ne maîtrise pas du tout) ?

    Edit : $2$ vs $3$.
  • killersmile38
    killersmile38
    Hello,

    je dois pouvoir trouver un moyen de vérifier. Je fais ça quand j'ai 5min. Merci à tous pour vous exemples, en tout cas :-)
  • gai requin
    gai requin
    @moduloP : On dirait que c'est bon. (tu)
    > ZX<X> := PolynomialRing(IntegerRing()) ;                   
> L := NumberField(X^3-3*X+10) ;
> p := 2 ; 
> DecompositionType(L, p) ;
[ <1, 1>, <1, 2> ]
  • gai requin
    gai requin
    Pour les vacanciers (plutôt algébristes) qui n'ont pas accès à leur calculette préférée, on peut faire pas mal de choses avec [magma en ligne].
    On trouve un handbook sur la toile [ici].
    Sur notre forum, on peut également consulter les messages de Claude Quitté souvent agrémentés de codes en magma...
  • noix de totos
    noix de totos
    Je n'avais pas vu la condition sur la ramification imposée par Killersmile38.

    Par ailleurs, il peut être utile de rappeler la base de données suivante : http://www.lmfdb.org/NumberField/
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