Ramification d'une extension non galoisienne
Bonjour,
étant à Paris sans PARI, j'aimerais savoir si quelqu'un a sous le coude un ou deux exemples d'une extension $L/\mathbb{Q}$, nécessairement non galoisienne, où les premiers $p$ qui se ramifient le sont avec des indices de ramification différents. Si en sus, il y a aussi la décomposition de la différente de $L/\mathbb{Q}$ et le discriminant, ça serait top.
Merci !
étant à Paris sans PARI, j'aimerais savoir si quelqu'un a sous le coude un ou deux exemples d'une extension $L/\mathbb{Q}$, nécessairement non galoisienne, où les premiers $p$ qui se ramifient le sont avec des indices de ramification différents. Si en sus, il y a aussi la décomposition de la différente de $L/\mathbb{Q}$ et le discriminant, ça serait top.
Merci !
Réponses
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$x^3-x-1$ avec décomposition en $23$ de type $(2,1)$. Discriminant $-23$
$x^3+x^2+1$ avec décomposition en $31$ de type $(2,1)$ aussi. discriminant $-31$. -
Merci !
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$ \def\OK{\mathcal O_K}$ Salut Killersmile,
J'ai répondu rapidement car pas trop le temps. Mais j'espère que j'ai bien compris la question pour la première extension : je voulais dire que
$$(23) \OK = \mathfrak{p}_1^{2} \mathfrak{p}_2 \qquad \qquad \mathfrak{p}_1 := \langle x+10, 23 \rangle \qquad \qquad \mathfrak{p}_2 := \langle x+3, 23 \rangle$$
J'ai pris ça par rapport a l'autre fil, mais tu voulais plusieurs $p$ en bas qui se ramifient ou plusieurs $\mathfrak{p}$ se ramifiant (en haut). (ici le polynôme décrit bien l'anneau des entiers). (Je pense que c'est aussi le cas du second exemple ?).
D'ailleurs c'est pas évident de trouver des exemples : je ne sais pas trop si on se donne "des données de ramification", est ce que l'on peut trouver une extension de $\Q$ qui les vérifient. Je vais réfléchir pour construire un exemple un peu plus gros. -
Autres exemples, de degrés $> 3$ :
1. $K$ défini par $P = X^5+X^2-1$, $d_K= 3017 = 7 \times 431$ et
$$(7) = \mathfrak{p}_{7}^2 \mathfrak{q}_7 \quad \textrm{et} \quad (431) = \mathfrak{p}_{431}^2 \mathfrak{q}_{431} \mathfrak{r}_{431}.$$
2. $K$ défini par $P =X^6+X^4+X^3+1$, $d_K= -43063$ et
$$(43063) = \mathfrak{p}_{43063}^2 \mathfrak{q}_{43063}.$$
3. $K$ défini par $P=X^7+X+4$, $d_K = -3373278784 = -2^6 \times 52707481$ et
$$(2) = \mathfrak{p}_{2}^2 \mathfrak{q}_{2} \mathfrak{r}_{2}^{2}.$$ -
Super ! Je vais pouvoir bien m'amuser avec tout ça (:D
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Y a moyen d'abuser, et de demander une extension avec au moins un $p$ ramifié sauvagement, et où les exposants des des $e_\mathfrak{p}$ qui sont $>1$ sont distincts ? un truc du genre $(2)=\mathfrak{p}_1^2\mathfrak{p}_2\mathfrak{p}_3^3$ par exemple...
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$P=X^6-2X^3-X^2+58X-88$, avec $d_K = 593^3$ et $(593) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2^2 \mathfrak{p}_3^3$.
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Je pense que ce n'est pas sauvagement ramifiée, Noix de Totos.
Bon j'ai trouvé ça : $x^3-3x+10$ et la décomposition de $2$ est $\mathfrak{p}^2 \mathfrak{q}$. Elle est aussi ramifié en $3$ mais de manière totale. -
Quelle est la définition d'un premier $p$ ramifié sauvagement ?
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Il existe un $\mathfrak{p}$ au-dessus de $p$ tel que $p\mid e_\mathfrak{p}.$
[Edit: correction suite au message de moduloP] -
La caractéristique résiduelle divise l'indice de ramification. En gros : $(31) = \mathfrak{p}^{62} \mathfrak{q}^{13}$ est sauvagement ramifiée en $\mathfrak{p}$ ($31$ divise $62$) mais pas en $\mathfrak{q}$. (Je pense que c'est ça).
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mince ! Je me suis trompé alors
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Merci killersmile38.
Donc $593$ n'est pas ramifié sauvagement dans l'exemple de noix de totos. -
J'explique un peu plus pour ceux qui ne connaissent pas ce genre de trucs.
$\newcommand{\qq}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\pp}{\mathfrak{p}}$
$\newcommand{\oo}{\mathcal{O}}$
$\newcommand{\zz}{\mathbb{Z}}$
$\newcommand{\dd}{\mathcal{D}}$
Soit $L/\qq$ une extension finie. L'ensemble $\{ x\in L\mid \mathrm{Tr}_{L/\qq}(xy)\in\zz \ \mbox{pour tout }y\in\oo_L\}$ est un idéal fractionnaire, dont l'inverse $\dd_L$ est un idéal de $\oo_L$, appelée la différente de $L$. Cet idéal est très important, puisque ses diviseurs premiers sont exactement les idéaux premiers au-dessus des nombres premiers $p$ qui se ramifient. De plus, on a la relation $\vert d_L \vert=N_{L/\qq}(\dd_L)$, où $d_L$ est le discriminant de $L.$
Si on pose $d_\pp=v_\pp(\dd_L)$, alors on sait que $d_\pp\geq e_\pp-1$, et surtout on montre que $d_\pp=e_\pp-1$ si, et seulement si $p\nmid e_\pp$. Dans le cas où il existe un $\pp$ pour lequel $p\mid e_\pp$, on dit que la ramification est sauvage, sinon on dit qu'elle est modérée.
[Edit: correction suite au message de moduloP]
En fait, on parle plutôt de ces notions là lorsque $L/\qq$ est galoisienne, car dans ce cas, tous ces entiers ne dépendent que de $p$ , et pas de $\pp$. -
T'es vraiment certain pour la ramification sauvage ? Je pense que dans le livre de Samuel la condition est bien $p$ ne divise pas $e_i$. c'est page 113.
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oui pardon. J'ai confondu avec l'exposant dans la différente, je corrige dans mes deux posts.
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En utilisant, le lien entre discriminant est différente et si je me suis pas trompé on doit avoir $\mathfrak{d} = \mathfrak{p}^3 \mathfrak{q} ^ 4$ avec $\mathfrak{p}$ de norme $2$ et $\mathfrak{q}$ de norme $3$. (Avec le polynôme $x^3-3x+10$).
Tu as un moyen de vérifier ? Avec les $p$-adiques pour faire des calculs (je ne maîtrise pas du tout) ?
Edit : $2$ vs $3$. -
Hello,
je dois pouvoir trouver un moyen de vérifier. Je fais ça quand j'ai 5min. Merci à tous pour vous exemples, en tout cas :-) -
@moduloP : On dirait que c'est bon. (tu)
> ZX<X> := PolynomialRing(IntegerRing()) ; > L := NumberField(X^3-3*X+10) ; > p := 2 ; > DecompositionType(L, p) ; [ <1, 1>, <1, 2> ]
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Pour les vacanciers (plutôt algébristes) qui n'ont pas accès à leur calculette préférée, on peut faire pas mal de choses avec [magma en ligne].
On trouve un handbook sur la toile [ici].
Sur notre forum, on peut également consulter les messages de Claude Quitté souvent agrémentés de codes en magma... -
Je n'avais pas vu la condition sur la ramification imposée par Killersmile38.
Par ailleurs, il peut être utile de rappeler la base de données suivante : http://www.lmfdb.org/NumberField/
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Bonjour!
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