Séries génératrices de nombres premiers.

Fly7 · December 2017

Bonjour.
En tant qu'amateur peu expérimenté, je constate que les séries $n^2+(n-1)$ et $n^2-(n-1)$ génèrent des nombres premiers et des produits de deux nombres premiers.
Non vérifié pour de grands nombres.
J'imagine que c'est trivial et que ces séries sont déjà connues.
Cordialement,
Thomas.

reuns · December 2017

Si tu parles des premiers termes alors regarde http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html

Pour la suite dans son ensemble, on ne sait même pas montrer que $\{n^2 + 1\}$ contient une infinité de nombres premiers.

Le seul cas résolu de la conjecture de Bunyakovsky est celui des polynômes de degré $1$.

Par contre il semble que la version affaiblie avec semi-premier au lieu de premier est démontrée.

Fly7 · December 2017

Il ne s'agit pas des premiers termes.
Il ne s'agit pas non plus de semi-premiers.
Il y a uniquement dans les séries des nombres premiers et produits de deux nombres premiers.
Vérifier jusqu'à n=15.
$n^2+(n-1)=(1; 5; 11; 19 ; 29; 41; 55=5\times11; 71; 89; 109; 131; 155=5\times31; 181; 209=11\times19; 239; 271)$
$n^2-(n-1)=(1; 3; 7; 13; 21=3\times7; 31; 43; 57=3\times19; 73; 91=7\times13; 111=3\times37; 133=7\times19; 157; 183=3\times61; 211; 241)$

aléa · December 2017

Il faut un peu plus se mouiller pour voir que les thermes sont chauds :

$13441\times 13442-1=180673921=31\times 41\times142151$

Fly7 · December 2017

Exact.
Comment savoir rapidement si $10000^2+10000-1=100009999=3226129\times31$ est un produit de nombres premiers distincts ?

Math Coss · December 2017

Sur le même thème, «pourquoi y a-t-il beaucoup de nombres premiers de la forme $n^2+n+41$?», se demande Daniel Perrin.

aléa · December 2017

Si tu es sous Linux, il suffit de taper en ligne de commande : factor 100009999 . Tu as immédiatement la réponse:
100009999: 31 3226129

Fin de partie · December 2017

Un polynôme P à coefficients entiers d'une seule variable dont les valeurs $P(n_k)$ prises sur un ensemble infini d'entiers qui produirait des régularités comme le fait que les $P(n_k)$ seraient tous premiers ou produits de deux nombres premiers cela relève d'une commande faite au Père Noël à mon humble avis (sans offense aucune).

On sait démontrer, me semble-t-il, qu'un polynôme à coefficients entiers ne peut pas produire que des nombres premiers lorsque la variable parcourt $\mathbb{N}$. J'imagine qu'il doit être possible de démontrer que c'est aussi le cas si on remplace premier par semi-premier (ou qui est divisible par au plus k nombres premiers distincts, k fixé)

Fly7 · December 2017

exact aléa.
100009999: 31 3226129

Fly7 · December 2017

Fin de partie a écrit:

J'imagine qu'il doit être possible de démontrer que c'est aussi le cas si on remplace premier par semi-premier (ou qui est divisible par au plus k nombres premiers distincts, k fixé)

Oui je pense qu'il faut le démontrer ou pas.
Mais comme je ne sais pas démontrer.
Je vous laisse le soin de le faire si tant est cela a un intérêt.
$1000000000^2+1000000000-1=1000000000999999999$

Bonne année a tous.
Selamat tahun baru.

Fly7 · January 2018

Bon on va passer a une conjecture plus faible.
Tous nombre impair est produit de nombres premier.
$102^2+102-1=10505=5\times11\times191$
Le Père Noël ne passera pas cette année.
Ceci dit dans cette fourchette on trouve pas mal de nombres premiers.
$n^2$ a forcément un lien avec les nombres premiers, bonne année.

reuns · January 2018

Ce sont des suites, pas des séries.

Et si tu les programmais ? En python ça prend quelques lignes

def suite(N): 
   n = 2
   while n < N :
       an = n*n-n-1
       f = factor1(an)
       print(f)
       n += 1


def factor1(n):
    """returns a list of prime factors of n"""
    d = 2
    factors = [ ]  #empty list
    while n > 1:
      if n % d == 0:
        factors.append(d)
        n = n/d
      else:
        d = d + 1
    return factors

suite(200)

Fly7 · January 2018

Ok.
Je n'y connais rien en python mais avec un peut peu de travail ça doit être accessible.
En regardant un peu j'ai une vague compréhension.
Dés que j'ai du temps je m'y attelle.
Merci.

Fin de partie · January 2018

Tu peux utiliser aussi GP PARI. C'est moins puissant que Python mais souvent c'est suffisant et pas trop compliqué à programmer et à installer.

donnet · January 2018

bonsoir à tous

concernant ce sujet
j'avais écrit il y a quelques mois un memo sur les nombres premiers générés par X²+X+1
et les produits de premiers qui en découlait

il y peu de choses à faire pour l'adapter à X²+X-1
voici le pdf

reuns · January 2018

@donnet Je ne comprends rien à ton pdf. Soit $f(n) =n^2+bn+c$ disons avec $(b,c) = (-1,1)$. Quelle propriété non-triviale penses-tu savoir montrer (et comment) ?

donnet · January 2018

bonsoir Reuns,

Si tu as bien lu le document , f(n) est de la forme n²+s*n+Q et non de la forme n² plus deux constantes.
Dans le cas ou s=1 et pour certaines valeurs de Q ,f(n) est un polynôme des nombres chanceux d"EULER.

Ce qui a été fait dans ce mémo est de montrer certaines les diviseurs de f(n) lorsqu'ils existent ont quelques propriétés remarquables et qui sont résumés dans le but de l'étude au paragraphe introduction.

Pour faire simples les trinomes diviseursque l'on obtient ont des coefficients qui sont de nombres de FIBONACCI
Ils peuvent également se déduire d'un algorithme d'EUCLIDE généralisé.

Et enfin les premières valeurs numériques de ces diviseurs sont toutes des nombres premiers si elles sont inférieures à Q²
Pour le reste un niveau première suffit pour suivre le texte .

Séries génératrices de nombres premiers.

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