Ordre et conséquences (1)
dans Arithmétique
Bonjour,
Soient $a$ et $n$, deux entiers naturels avec $n>1$.
Dans un raisonnement d’arithmétique modulaire, si $a$ est d’ordre $\phi(n)$, puis-je écrire que les $\phi(n)$ premières puissances entières et positives de $a$ - à savoir $a^1$, $a^2$, … , $a^{\phi(n)}$ - calculées modulo n, génèrent les $\phi(n)$ entiers naturels premiers avec $n$ et inférieurs à $n$ ?
Merci d’avance et Bonne Année !
Gil Bill.
Soient $a$ et $n$, deux entiers naturels avec $n>1$.
Dans un raisonnement d’arithmétique modulaire, si $a$ est d’ordre $\phi(n)$, puis-je écrire que les $\phi(n)$ premières puissances entières et positives de $a$ - à savoir $a^1$, $a^2$, … , $a^{\phi(n)}$ - calculées modulo n, génèrent les $\phi(n)$ entiers naturels premiers avec $n$ et inférieurs à $n$ ?
Merci d’avance et Bonne Année !
Gil Bill.
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Réponses
Je préciserai ma pensée pas plus tard que bientôt.
1. Si \(a\) est d’ordre \(\phi(n)\), combien de classes modulo \(n\) distinctes les puissances \(a^1\), \(a^2\), …, \(a^{\phi(n)}\) fournissent-elles ?
2. Quelles propriétés les classes des entiers naturels premiers avec \(n\) posssèdent-elles dans \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) ?
3. Les classes modulo \(n\) des puissances \(a^1\), \(a^2\), …, \(a^{\phi(n)}\) ont-elles les propriétés listées au point 2 ?
Conclusion ?
A moins que je ne me trompe, si $n=4$ ou $p^k$ ou $2p^k$, pour $p=$ un nombre premier impair et $k=$ un entier naturel non nul, l'ensemble des inversibles de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un groupe cyclique. Autrement dit, il existe au moins un élément du groupe, élément que je note $\alpha$, tel que ses $\phi(n)$ premières puissances entières et positives - à savoir $\alpha^1, \alpha^2, ... , \alpha^{\phi(n)}$ - engendrent les $\phi(n)$ éléments du groupe cyclique. $\alpha$ est donc d'ordre $\phi(n)$.
Si l'on s'en tient au plus petit représentant positif de chaque élément du groupe cyclique et que l'on revient à l'arithmétique, j'en viens à affirmer que les $\phi(n)$ premières puissances d'un élément d'ordre $\phi(n)$, calculées modulo n, quand $n=4$ ou $p^k$ ou $2p^k$, génèrent bien les $\phi(n)$ entiers naturels premiers avec $n$ et inférieurs à $n$.
Est-ce exact ?
Encore une fois, merci d'avance.
Oui, à partir du moment où tu as prouvé que le groupe des inversibles de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est cyclique pour $n\in\{4,\ p^k,\ 2p^k, \ p \text{ premier},\ k\in \mathbb N^*\}.$
Alain