Convergence vers moyenne de premiers jumeaux

Sylvain · January 2018

Bonjour,

Sous la conjecture de Goldbach, soit $ n $ un entier supérieur à 2 et $ r_{0}(n) $ le plus petit naturel $ r $ tel que $ n-r $ et $ n+r $ soient premiers.

Soit la suite $ (u_k)_{k\in\mathbb{N}} $ telle que $ u_0=8 $ et pour tout $ k $ naturel, $ u_{k+1}=u_{k}r_{0}(u_k)$ .

La suite de terme général $ u_k $ est croissante mais converge-t-elle ? Si oui, sa limite $ l $ est telle que $ l-1 $ et $ l+1 $ sont premiers. Mes investigations sur pari n'ont rien donné, je pense que les nombres obtenus sont trop grands pour tester leur primalité.

Une bonne âme peut-elle me renseigner ?
Merci d'avance.

AD · January 2018

Bonsoir Sylvain
Ôtes-moi d'un doute $r_0(2)= 0$, $r_0(3)=0$ et $r_0$ de tout premier est $0$ ?
Es-tu sûr que $r_0$ est défini pour tout entier ($\geq 2$) ? L'as-tu prouvé ?
Alain

Sylvain · January 2018

Bonjour Alain,

En effet pour tout premier $ p $ on a $ r_{0}(p) =0 $ . L'existence d'un tel $ r_{0}(n) $ pour tout $ n>2 $ est équivalent à la conjecture de Goldbach, que je suppose vraie comme je l'ai précisé.

Fin de partie · January 2018

Qu'est-ce que vient faire la conjecture de Goldbach ici?

Pourquoi $r_0(n)$ existerait-il (même en supposant que la conjecture de Goldbach est vraie)?

Sylvain · January 2018

Si 2n=p+q avec p et q premiers et p inférieur à q on peut écrire q-p=2r pour un certain naturel r soit p=n-r et q=n+r.

Shah d'Ock · January 2018

Tu as essayé avec d'autres valeurs de $u_0$?

Sylvain · January 2018

Oui, pour des valeurs composées inférieures à 25 dont le r0 est >1 et n'apparaissant dans la suite (u_k) de mon premier message ça converge assez vite :
9->9x2=18->18×1=18
10->10x3=30->30x1=30
14->14x3=42->42x1=42
15->15x2=30->30x1=30
16->16x3=48->48x5=240->240x1=240
20->20×3=60->60x1=60
21->21x2=42->42x1=42
22->22x9=198->198x1=198
24=u_1
25->25x6=150->150x1=150

8 est la plus petite valeur de u_0 pour laquelle j'ignore si la suite converge.

Fin de partie · January 2018

Sylvain:
J'ai confondu la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach.

reuns · January 2018

Est-ce que tu penses vraiment qu'on peut dire des choses intéressantes sur la suite $u_{k+1} = u_k r(u_k)$ ?
Est-ce que tu comprends le modèle probabiliste des nombres premiers ?
Pourquoi est-ce que tu n'étudies pas la démonstration du théorème de Vinogradov (la seule et unique approche existante pour Goldbach) ?

babsgueye · January 2018

Salut.

Est ce qu'il a été démontré que le nombre de nombres premiers jumeaux est infini ? Ici si on montre la convergence pour toute valeur $u_0$, ce serait une démonstration.
Mais pour essayer de le démontrer, il faudra d'abord avoir le sentiment que c'est vrai comme beaucoup de conjectures.