Nombres premiers et congruence

lop06 · January 2018

Bonjour Je sollicite votre aide car J'ai des difficultés sur un dm de spe maths en terminale s.
1. Donner deux nombres premiers congrus à 3 module 4
J’ai mis 7 et 11
2. Notons D L’ensemble des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 et supposons qu’il est fini : D={p1,...,pn} soit N=(4p1...pb)+3 et soit h un nombre premier divisant N
a. Montrer que h est congru à 1 ou 3 modulo 4
Pour cela j’ai dit que N est impaire donc congru à 1 ou 3 modulo 4
Donc pour que h| N , alors h congru à 1 ou 3 modulo 4
b.(c’est là que les choses se compliquent…) montrer qu’aucun Des pk ne divise N en déduire que h est congru à 1 modulo 4
Je bloque à cette question ...
C. h Est l’un de tous les diviseurs premier de N. en déduire que A sera aussi congru à 1 modulo 4. Est ce possible ? Conclure.
Je sais que ça ne doit pas être possible possible pour montrer que l’ensemble n’est pas fini et conclure sur la véracité de l’hypothèse initiale mais je n’arrive pas à justifier le « est ce possible »
Merci d’avance à ceux qui m’aideront!

Fin de partie · January 2018

Lop6 a écrit:

montrer qu’aucun Des pk ne divise N en déduire que h est congru à 1 modulo 4

Calcule cette quantité modulo $p_k$ par exemple.

PS:
Il y a une petite subtilité pas bien méchante pour conclure qu'aucun des $p_k$ ne divise N

lop06 · January 2018

Merci beaucoup pour ces infos qui m'ont permis de trouver qu'aucun pk ne divise N
2.a j'ai fais une démonstration par l'absurde
j'ai mis si pk|N alors N congru a 0 modulo pk
je suis parti de pk congru a 0 modulo ai et j'ai trouve N congru a 3 modulo pk d'ou la contradiction
mais du coup je ne comprends toujours pas pourquoi h est congru à 1?
merci d'avance

Fin de partie · January 2018

Si tu supposes que les nombres premiers de la forme $4m+3$ sont en nombre fini ils ne divisent pas $N$ donc tout diviseur premier de N n'est pas de cette forme (conséquence du fait que par hypothèse on suppose qu'il y a un nombre fini de tels nombres premiers) donc c'est que ce nombre premier n'est pas de cette forme il est donc de la forme $4l+1$
Donc $N$ est un produit de facteurs premiers de la forme $4l+1$
Que se passe-t-il quand on multiplie deux nombres de cette forme?

uvdose · January 2018

Lop06, es-tu sûr(e) de ton $N$ ? N'est-ce pas plutôt $N=4p_1\cdots p_n-1$ (ou à la limite $N=\frac43p_1\cdots p_n+3$) ? Car $3$ est un nombre premier congru à $3$ modulo $4$...

lop06 · January 2018

Salut merci beaucoup de ton aide je pense qu'avec ça je vais pouvoir bien conclure !
Je reecrirai sur ce topic si je rencontre un nouveau probleme mais je pense que c'est bon
merci encore

lop06 · January 2018

Salut uvdose

Je ne vois pas ce que tu veux dire car mon N est bon...

incognito · January 2018

Ce que veut dire uvdose c'est que les raisonnements que te sont proposés au-dessus sont faux car ton nombre $N$ est divisible par $3$ (qui est évidement congru à 3 modulo 4).

Fin de partie · January 2018

Et si on remplace N par N/3 on se retrouve avec un nombre de la forme $4l+1$ et on est gros-Jean comme devant.

incognito · January 2018

Bah non on ne remplace pas N par N/3 ! La correction a été proposée par uvdose ...
Décidément l'arithmétique c'est dur !

Fin de partie · January 2018

C'est bien ce que je dis on ne peut même pas remplacer N par N/3 (ce serait une idée naturelle et rapide pour s'imaginer se débarrasser du problème)

(je savais que 3 allait poser un problème mais pour une raison mystérieuse je m'étais persuadé que 3 n'était pas un nombre de l'ensemble considéré. Peut-être la mauvaise manie de croire que les énoncés d'exercice sont toujours fiables)

Nombres premiers et congruence

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