Diophante, le 5.1.2018
dans Arithmétique
(A) Résoudre sur $\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, ... \}$ le système
$S_1 : x+y+z = 6$
$S_2 : x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y = 48$
(B) Paramétrer la courbe de $\mathbb{R}^3$ $S_1\cap S_2$.
$S_1 : x+y+z = 6$
$S_2 : x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y = 48$
(B) Paramétrer la courbe de $\mathbb{R}^3$ $S_1\cap S_2$.
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Réponses
Avec $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$ et $\sigma_3=xyz$, les équations s'écrivent
\[\begin{cases}\sigma_1=6\\\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3=48.\end{cases}\]
Regardons le dessin. Légende : en gris, le plan $\sigma_1=6$; en bleu la surface $\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3=48$ ; en vert, leur intersection $X$ ; en noir, l'intersection du plan $\sigma_1=6$ avec les plans de symétrie $x=y$, $y=z$ et $z=x$.
On voit que l'intersection cherchée $X$ est la réunion des trois droites vertes. Comme $X$ est invariante par permutation des variables, il est facile de trouver les vecteurs directeurs de ces droites (c'était l'intérêt de mettre les droites noires). Comme le point $(2,2,2)$, qui est l'intersection des trois droites noires, i.e. le seul point du plan $\sigma_1=6$ invariant par permutation, appartient à $X$, on en déduit un candidat de paramétrage. Il est facile de vérifier que $(t+2,-t+2,2)$ appartient à $X$ pour tout $t$, de même que $(2,t+2,-t+2)$ et $(-t+2,2,t+2)$. Sachant que $X$ est une cubique du plan $\sigma_1=6$, c'est bien la réunion de ces trois droites et pas plus.
On peut aussi le voir grâce à la relation suivante, où $f=\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3-48$ :
\[f=-3(x-2)(y-2)(z-2)+(\sigma_1-6)(\sigma_2+12).\]
Enfin, le paramétrage permet de résoudre le système dans $\N$, ce qui donne trois solutions pour $\{x,y,z\}$ : $\{2\}$, $\{3,2,1\}$, $\{4,2,0\}$.
La moyenne de $x$, $y$ et $z$ est 2.
J'ai donc posé $x=2+a$, $y=2+b$ et $z=2-a-b$.
La substitution dans la seconde équation donne...
$$
3ab(a+b)=0\qquad !
$$