Diophante, le 5.1.2018

Jolie selle de singe !
Avec $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$ et $\sigma_3=xyz$, les équations s'écrivent
\[\begin{cases}\sigma_1=6\\\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3=48.\end{cases}\]
Regardons le dessin. Légende : en gris, le plan $\sigma_1=6$; en bleu la surface $\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3=48$ ; en vert, leur intersection $X$ ; en noir, l'intersection du plan $\sigma_1=6$ avec les plans de symétrie $x=y$, $y=z$ et $z=x$.

On voit que l'intersection cherchée $X$ est la réunion des trois droites vertes. Comme $X$ est invariante par permutation des variables, il est facile de trouver les vecteurs directeurs de ces droites (c'était l'intérêt de mettre les droites noires). Comme le point $(2,2,2)$, qui est l'intersection des trois droites noires, i.e. le seul point du plan $\sigma_1=6$ invariant par permutation, appartient à $X$, on en déduit un candidat de paramétrage. Il est facile de vérifier que $(t+2,-t+2,2)$ appartient à $X$ pour tout $t$, de même que $(2,t+2,-t+2)$ et $(-t+2,2,t+2)$. Sachant que $X$ est une cubique du plan $\sigma_1=6$, c'est bien la réunion de ces trois droites et pas plus.

On peut aussi le voir grâce à la relation suivante, où $f=\sigma_1\sigma_2-3\sigma_3-48$ :
\[f=-3(x-2)(y-2)(z-2)+(\sigma_1-6)(\sigma_2+12).\]
Enfin, le paramétrage permet de résoudre le système dans $\N$, ce qui donne trois solutions pour $\{x,y,z\}$ : $\{2\}$, $\{3,2,1\}$, $\{4,2,0\}$.

J'aurais dû voir, que, à cause de la symétrie d'ordre 3, la singularité ne peut pas être un point double et que donc la cubique se décompose en trois droites. Ce n'est pas une cubique rationnelle.