Record du plus grand nombre premier battu

Math Coss · January 2018

Le plus grand nombre premier connu ne l'est que depuis une semaine environ : c'est le nombre de Mersenne
\[2^{77\,232\,917}-1,\]il a été découvert par J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. dans le cadre du projet GIMPS.

Dom · January 2018

Je suis très candide. J'imagine que ce ne sont pas que des tests probabilistes qui permettent de le confirmer.
Quelle est l'objet de la preuve de cette primalité, pour ce record de janvier 2018 ?
Un "super ordinateur agréé" ?
Et pour l'homologation ? Est-ce qu'un huissier doit être présent ? (Pardon si c'est d'une naïveté déconcertante...)

Je suis allé voir ici, pour commencer.

Amusant dans le lien de @Math Coss, ce paragraphe :
« Le programme Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) offre actuellement une récompense de trois mille dollars aux participants qui téléchargent et exécutent leur logiciel libre, et dont l'ordinateur découvre un nouveau nombre premier de Mersenne ayant moins de 100 millions de chiffres. »

Math Coss · January 2018

Le lien vers la page du projet GIMPS (en fait un communiqué de presse) donne quelques précisions. Ça commence sans doute par des tests probabilistes (apparemment non, cf. plus bas) mais après, pour officialiser la découverte, il faut produire un certificat de primalité. Les calculs sont faits sur des ordinateurs personnels par des volontaires – la page indique comment participer. Le premier calcul, fait par Jonathan Pace (ingénieur dans le Delaware), lui a pris six jours complets – sur un ordinateur individuel. Le calcul a été ensuite vérifié indépendamment par cinq personnes et quatre méthodes différentes en 37, 34, 73, 82, 65 heures respectivement.
NB : La découverte remonte au 26 décembre (mais le communiqué de presse est sorti le 3 janvier).

Fin de partie · January 2018

Le plus long c'est d'éliminer une quantité de nombres premiers qui ne conviennent pas.
(la vérification d'un nombre qu'on présume être de Mersenne n'est pas si longue et ne nécessite pas un cloud d'ordinateurs)

(un nombre de Mersenne est un nombre premier de la forme $2^p-1$ avec $p$ premier)

La question est, est-ce qu'entre le précédent nombre de Mersenne découvert et celui-ci ne s'intercale pas un autre nombre de Mersenne qui reste à découvrir?

PS:
Apparemment le découvreur d'un tel nombre peut arrondir ses fins de mois généreusement.
Rien dans l'article ne donne la position de ce nouveau nombre de Mersenne dans la liste de ces nombres classés du plus petit au plus grand.

Math Coss · January 2018

D'après la formulation du communiqué de presse, j'ai plutôt l'impression que personne n'est sûr qu'il n'y ait pas de nombre de Mersenne premier intercalé entre les cinquante déjà connus. Je ne sais pas si écumer les nombres de Mersenne se fait en tirant au sort ou systématiquement.

D'après wikipedia, celui de cette année est le plus grand nombre de Mersenne premier connu, le précédent était $M_{74\,207\,281}$ avec 22 338 618 chiffres.

Pour ce qui est de la générosité de la prime, il s'agit de 3000 dollars, ça met un peu de beurre dans les épinards mais ça ne change pas la vie, d'autant qu'on ne peut pas trop compter sur la manne ! Les derniers records ont été trouvés par des personnes différentes en janvier 2016, janvier 2013, août 2008... Quant au découvreur de l'année, il participait au projet depuis 14 ans : tu parles d'une rente !

reuns · January 2018

Les maths derrière le test de Lucas-Lehmer qui permet de tester la primalité de $2^p-1$ en $p^3$ opérations simples ($p^2 \log p$ avec la multiplication par fft) sont expliquées ici.

@Math Coss : Il n'y a aucun test probabiliste parce que le LLT c'est que $a^{\frac{q+1}{2}} \equiv -1 \bmod q$ avec $a = 2 + \sqrt{3}$.

Félix · January 2018

Parler de générosité pour 12 000 dollars en dix ans semble un peu excessif, surtout si on songe que la somme de 3 000 dollars du dernier est répartie entre 4 "et al." personnes. Ca ne rembourse même pas l'abonnement internet et la consommation électrique.

Sylvain · January 2018

Bonne nuit,

Ça fait 25 dollars par mois chacun, de quoi se payer un repas au restaurant. Et pour rebondir sur le post de FdP, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme $2^{p}-1 $, pouvant être premier ou composé.

babsgueye · January 2018

Bonjour

Générosité ? C'est de peu d'importance mathématique. On fait patiemment tourner des machines !

Fin de partie · January 2018

Je croyais que le plus grand nombre premier connu était un nombre de Mersenne mais il en n'est rien.
(selon l'article cité en premier message)

gerard0 · January 2018

Heu ... FdP : Où lis-tu cela ? l'article dit que les plus grands nombres premiers connus sont des nombres de Mersenne, du premier au dix-septième.

Cordialement.

Shah d'Ock · January 2018

On parle souvent du plus grand premier connu, mais quel est le plus grand entier pour lequel on connaît tous les premiers jusqu'à lui?

Breyer · January 2018

On s'intéresse davantage au plus grand entier $x$ tel que $\pi(x)$ est connu. D'après le site de Caldwell:
"The largest known value of the function pi(x) is pi(10^21) = 21 127 269 486 018 731 928, obtained by Xavier Gourdon on October 27, 2000. "

Math Coss · January 2018

Une estimation au petit doigt levé : on ne connaît pas plus de quelques milliards de nombres premiers donc pour le plus grand $p_n$, on a $n\log n<10^{10}$. Ça ne va pas chercher loin.

Cela dit, c'est une question comparable à : quel est le plus grand nombre entier jusqu'auquel on a compté effectivement ?

Fin de partie · January 2018

Gerard0 :
J'ai sans doute mal compris en lisant trop vite:

Wikipedia a écrit:

En janvier 2018, les dix-sept plus grands nombres premiers connus sont de Mersenne, tandis que le dix-huitième est un polynôme de nombres de Mersenne

J'avais compris que le 18ème nombre dont il est question est plus grand que les dix sept autres.

Shah d'Ock · January 2018

Math Coss a écrit:

Cela dit, c'est une question comparable à : quel est le plus grand nombre entier jusqu'auquel on a compté effectivement ?

Oui d'ailleurs, c'est combien?

Math Coss · January 2018

Cinq. Au-delà c'est l'infini.

Akdim rachid · September 2018

On vient de découvrir le plus grand nombre premier de Mersenne, on sait que la trouvaille s' est effectuée par le calcul partagé sur GIMPS. Mais j'ai lu aussi que la vérification s'est déroulée séparément sur des logiciels .
Quels sont ces logiciels qui peuvent faire ce test de ce nombre pharaonique ?
Et peut-on faire la vérification sur un ordinateur simple ?

[ Les noms propres, en particulier les noms des mathématiciens s'écrivent avec une lettre majuscule en initiale. jacquot ]