Écriture binaire d'un premier

Ben, tu peux te faire une idée par toi-même en programmant un peu.

Un petit script GP PARI pour étudier un peu la question.

binprime(M)={
local(T=0,q,u,l,N,P,i);
for(q=1,M,u=binary(prime(q));l=length(u);N=0;P=0;for(i=1,l,if(u[ i]==0,N++,P++));if(P>=N,T++));
print("nombre de nombres premiers dont le nombre de 1 est >= au nombre de 0:",T);
print("nombre de nombres premiers evalues:",M);
}

Je suis en train de faire le calcul pour le premier million de nombres premiers.

PS2:
Sauf erreur, pour les dix mille premiers nombres premiers il y a exactement $7029$ nombres premiers dont le nombre de $1$ dans le développement en binaire est supérieur au nombre de $0$

La proportion tend-elle vers 0,5 quand le nombre de nombres premiers considérés augmente?

Bonsoir,

Hormis deux, un nombre premier en base deux commence et ça finit par $1$. Heuristiquement, toutes choses égales d'ailleurs, $0$ doit être moins fréquent. Bof...
Cordialement
Paul

Edit:grillé

Les résultats de mon calcul (cf le programme ci-dessus).
Sur le premier million de nombres premiers exactement $699403$ ont plus de 1 que de 0 (s'il y a autant de 1 que de 0 on considère qu'il y a plus de 1) dans leur développement binaire.

Pas de nouvelles d'Apollonius, qui n'a pas dit d'où lui est venue son idée.

Il faudra que j'y retourne, nous ne trouvons pas la même chose !

Math Coss:

Mon programme est peut-être plein d'erreurs. Après la suppression des erreurs grossières dans la mise au point, j'ai testé pour les dix premiers nombres premiers, à la main, puis avec le programme et j'ai trouvé le même nombre j'en ai déduit que mon programme était probablement correct.

Ah ! Voilà d'où venait la différence : je sélectionnais les nombres pour lesquels le nombre de chiffres 1 est strictement plus grande que la proportion de 0 alors que tu sélectionnais ceux pour lesquels elle est supérieure ou égale. Avec Sage et $\ge$, je retrouve bien tes 699403 nombres premiers dans le premier million de nombres premiers.

Bref, nos programmes concordent (ça aurait fait mal pour un programme si court !), à ceci près que nous ne calculions pas la même chose.

L'idée, c'était de confirmer le résultat par un autre programme, Sage en l'occurrence (qui sous-traite peut-être certains trucs à Pari, comme le calcul du nombre premier suivant).

Côté temps, pour aller jusqu'à un million de premiers, il faut un peu moins de 9 s sur mon laptop ; sur un serveur collectif qui accomplit d'autres tâches, ça prend un peu plus de 37 s. Sur ce même serveur, il faut environ 30 s à Pari pour exécuter ton script, ce qui est un peu plus rapide.

Cela me surprendrait que soit plus lent que Sage pour ce genre de calculs. Il y a quelques mois, pour un calcul analogue (boucle simple), j'ai pu aller jusqu'à $10^9$ en quelques dizaines de secondes grâce à Pari quand Sage calait vers $10^8$.

def teste(n):
    p, ch, sel = 1, 0, 0
    for k in range(n):
        p = next_prime(p)
        l = p.bits()
        prop = add(l)*1./ZZ(len(l))
        ch += prop
        if prop >=.5:
            sel+= 1
        if random()<1e-6:
            print "Exemple : p = %s = %s, proportion = %s" % (p,l,add(l)*1./ZZ(len(l)))
    return ch*1./n, sel*1./n

Sage c'est du Python.