Nombres premiers jumeaux de Mersenne

Apollonius · January 2018

Que sait-on sur les nombres premiers jumeaux de Mersenne, i.e. $2^p-1$ et $2^p+1$ premiers (comme $3$ et $5$)? Combien en connaît-on?

Sylvain · January 2018

Le seul couple que tu as donné vu que l'un des deux nombres $ 2^p-1 $ et $ 2^p+1 $ est divisible par $ 3 $ .

Fin de partie · January 2018

Sauf erreur, pour que $2^p+1$ soit un nombre premier il faut (mais ce n'est pas toujours suffisant) que $p$ soit une puissance de $2$.

Ce qui fait que $2^p+1$ n'est jamais premier pour $p>2$ premier.

PS:
Voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat.

PS2:
Un nombre entier qui s'écrirait $x^q+1$ avec $x$ entier et $q$ entier impair est divisible par $x+1$.
Et si $q>1$ alors $x+1<x^q+1$ et donc $x+1$ est un diviseur stricte de $x^q+1$ si $x$ est non nul.
Ce qui fait que pour que $x^q+1$, $q>1,x\neq 0$, soit premier il ne faut pas que $q$ soit divisible par un nombre impair>1.

babsgueye · January 2018

Salut.

Est ce que par hasard @Apollonius ne voudrais-tu pas parler de $2^p-1$ et $2^p-3$ ?
Il n'y a pas que des jumeaux et on ne sait pas s'il y a une infinité de nombres premiers de Mersenne.

Nombres premiers jumeaux de Mersenne

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