Le détail de la démo de Hardy sur Riemann
Bonjour,
je cherche à bien comprendre comment Hardy arrive à prouver l’infinité de zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.
Sa démo est jointe en pièces jointes grâce au travail important d’archiveurs.
Si quelqu’un pouvait détailler par exemple l’intégration “par chemin”, et détailler un peu plus qu’il ne fait ses étapes.
Par ailleurs, je trouve souvent que le détail manque dans les papiers “pro”, et je me demande comment les lecteurs (d’où qu’ils viennent) font pour comprendre sans détailler les calculs sur leurs feuilles.
Je suis conscient que ce que je demande peut prendre du temps et aimerais une réponse bien claire sans flood si possible.
je cherche à bien comprendre comment Hardy arrive à prouver l’infinité de zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.
Sa démo est jointe en pièces jointes grâce au travail important d’archiveurs.
Si quelqu’un pouvait détailler par exemple l’intégration “par chemin”, et détailler un peu plus qu’il ne fait ses étapes.
Par ailleurs, je trouve souvent que le détail manque dans les papiers “pro”, et je me demande comment les lecteurs (d’où qu’ils viennent) font pour comprendre sans détailler les calculs sur leurs feuilles.
Je suis conscient que ce que je demande peut prendre du temps et aimerais une réponse bien claire sans flood si possible.
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Réponses
c’est sûr je n’ai pas ou pas encore le niveau nécessaire.
http://megamaths.1free-host.com/annales/agregationexterne1975comp2e.pdf
Soit $a > 0$ réel et $n \geqslant 1$ entier. Alors, le nombre de changements de signes dans l'intervalle $\left ]0,a \right[$ d'une fonction continue $f$ est au moins égal au nombre de changements de signes dans la suite
$$f(0), \ \int_0^a f(t) \textrm{d}t, \ \int_0^a f(t) \textrm{d}t, \ \int_0^a tf(t) \textrm{d}t, \dotsc, \int_0^a t^n f(t) \textrm{d}t.$$
On applique ce théorème à la fonction $t \longmapsto \xi \left ( \frac{1}{2} + it \right)$ agrémentée d'un poids convenable, où $\xi(s)$ est la fonction "zêta complète" de Riemann, i.e. $\xi(s) := \pi^{-s/2} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \zeta(s)$ (cette fonction permet une écriture de l'équation fonctionnelle de $\zeta$ un peu plus simple).
Plus précisément, on peut montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
$$\lim_{y \to \pi/4} \int_0^\infty t^{2n} \xi \left ( \tfrac{1}{2} + it \right) \textrm{ch} (yt) \, \textrm{d}t = (-1)^{n+1} 2^{1-2n} \pi \cos \tfrac{\pi}{8}.$$
Fixons alors un entier $m \geqslant 1$. D'après ce calcul, si $a_m > 0$ est suffisamment grand et si $y_m$ est choisi assez proche de $\frac{1}{4} \pi$, alors l'intégrale
$$\int_0^{a_m} t^{2n} \xi \left ( \tfrac{1}{2} + it \right) \textrm{ch} (y_mt) \, \textrm{d}t$$
a le même signe que $(-1)^{n+1}$. D'après le résultat de Fejér, on en déduit que, pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, la fonction $t \longmapsto \xi \left ( \frac{1}{2} + it \right)$ change au moins $m$ fois de signe dans $\left ]0,a_m \right[$.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Fejer.html
Le résultat de Fejér se trouve en [1].
Comme indiqué dans [3], ce théorème de Fejér découle lui-même du résultat suivant dû à Fekete [2], qui peut se démontrer par récurrence :
Le nombre de changements de signe dans $\left ] 0,a \right [$ d'une fonction continue $f$ est au moins égal au nombre de changements de signe dans la suite
$$f_0(a) :=f(a), \ f_1(a), \dotsc,f_n(a)$$
où $f_k (x) := \displaystyle \int_0^x f_{k-1} (t) \, \textrm{d}t$ $\quad \left( k=1,2,\dotsc,n \right)$.
Références.
[1] L. Fejér, Nombre de changements de signe d'une fonction dans un intervalle et ses moments, C. R. 158 (1914), 1328--1331.
[2] M. Fekete, Sur une limite inférieure des changements de signe d'une fonction dans un intervalle, C. R. 158 (1914), 1256--1258.
[3] E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2nd Ed. Revised by D. R. Heath-Brown, Oxford Science Pub., 1986.