Le détail de la démo de Hardy sur Riemann

Ça manque de détails justement parce que l'auteur s'adresse à des spécialistes. Un collégien qui commence les manipulations algébriques ne comprendrait pas qu'on passe directement de $ x^2+2x+1=0 $ à $ x=-1 $ mais ça ne pose aucun problème à qui a du recul sur les identités remarquables.

Il y avait aussi un sujet d'agrégation qui donnait une preuve de ce résultat:

http://megamaths.1free-host.com/annales/agregationexterne1975comp2e.pdf

Presque toutes les démonstrations que je connais sur cette question reposent sur le résultat suivant dû à Fejér :

Soit $a > 0$ réel et $n \geqslant 1$ entier. Alors, le nombre de changements de signes dans l'intervalle $\left ]0,a \right[$ d'une fonction continue $f$ est au moins égal au nombre de changements de signes dans la suite
$$f(0), \ \int_0^a f(t) \textrm{d}t, \ \int_0^a f(t) \textrm{d}t, \ \int_0^a tf(t) \textrm{d}t, \dotsc, \int_0^a t^n f(t) \textrm{d}t.$$

On applique ce théorème à la fonction $t \longmapsto \xi \left ( \frac{1}{2} + it \right)$ agrémentée d'un poids convenable, où $\xi(s)$ est la fonction "zêta complète" de Riemann, i.e. $\xi(s) := \pi^{-s/2} \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) \zeta(s)$ (cette fonction permet une écriture de l'équation fonctionnelle de $\zeta$ un peu plus simple).

Plus précisément, on peut montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
$$\lim_{y \to \pi/4} \int_0^\infty t^{2n} \xi \left ( \tfrac{1}{2} + it \right) \textrm{ch} (yt) \, \textrm{d}t = (-1)^{n+1} 2^{1-2n} \pi \cos \tfrac{\pi}{8}.$$
Fixons alors un entier $m \geqslant 1$. D'après ce calcul, si $a_m > 0$ est suffisamment grand et si $y_m$ est choisi assez proche de $\frac{1}{4} \pi$, alors l'intégrale
$$\int_0^{a_m} t^{2n} \xi \left ( \tfrac{1}{2} + it \right) \textrm{ch} (y_mt) \, \textrm{d}t$$
a le même signe que $(-1)^{n+1}$. D'après le résultat de Fejér, on en déduit que, pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, la fonction $t \longmapsto \xi \left ( \frac{1}{2} + it \right)$ change au moins $m$ fois de signe dans $\left ]0,a_m \right[$.

C'est bien « ce » Féjer :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Fejer.html

Outre les renseignements que l'on peut trouver sur internet, de nombreuses démos du résultat de Hardy sont disponibles dans le livre de Titchmarsh [3, pp. 256--264].

Le résultat de Fejér se trouve en [1].

Comme indiqué dans [3], ce théorème de Fejér découle lui-même du résultat suivant dû à Fekete [2], qui peut se démontrer par récurrence :

Le nombre de changements de signe dans $\left ] 0,a \right [$ d'une fonction continue $f$ est au moins égal au nombre de changements de signe dans la suite
$$f_0(a) :=f(a), \ f_1(a), \dotsc,f_n(a)$$
où $f_k (x) := \displaystyle \int_0^x f_{k-1} (t) \, \textrm{d}t$ $\quad \left( k=1,2,\dotsc,n \right)$.

Références.

[1] L. Fejér, Nombre de changements de signe d'une fonction dans un intervalle et ses moments, C. R. 158 (1914), 1328--1331.

[2] M. Fekete, Sur une limite inférieure des changements de signe d'une fonction dans un intervalle, C. R. 158 (1914), 1256--1258.

[3] E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2nd Ed. Revised by D. R. Heath-Brown, Oxford Science Pub., 1986.