Prolongement méromorphe de $\zeta^\pi$

Qu'est-ce qui te gêne ? Le nombre complexe $\zeta(3/4)$ a deux racines carrées dans $\mathbb C$ (il est connu qu'il est non nul), et Wolfram t'en donne une. Il faut bien te rendre compte que la fonction $s \mapsto \zeta(s)^{1/2}$ qui te semble si simple pour $\mathfrak{Re}(s) > 1$ fait l'objet d'un choix entre un complexe et son opposé en tout point. Le fait que $\zeta$ ne s'annule pas sur ce demi-plan permet de faire un choix analytique sur tout le demi-plan. C'est la même chose si on prolonge jusqu'en $3/4$.

Plus généralement, si, pour $z \in \mathbb{C}$, $p$ premier et $n \in \mathbb{}_{\geqslant 1}$, on pose
$$\tau_z \left(p^{n} \right) := {z + n -1 \choose n} = \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{n-1} (z+n-1-k)$$
alors, pour tout $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma > 1$
$$\zeta(s)^z = \prod_p \left( 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\tau_z \left(p^{n} \right)}{p^{ns}} \right)$$
est le développement en produit eulérien, absolument convergent dans le demi-plan $\sigma> 1$, de la fonction $\zeta(s)^z$.

On peut alors définir la fonction
$$s \longmapsto Z(s,z) := \frac{(s-1) \zeta(s)^z}{s}$$
dans l'intersection de $\mathbb{C}^*$ avec tout domaine simplement connexe ne contenant pas de zéro de $\zeta$. On peut choisir la détermination du logarithme de sorte que $Z(1,z)=1$, et on montre alors que cette fonction $Z(s,z)$ est holomorphe dans le disque $|s-1| < 1$ (la démonstration découle essentiellement du fait que $\zeta$ ne s'annule pas dans ce disque et de la formule de Cauchy).

De rien.