Corps de Hilbert galoisien sur sous-corps
dans Arithmétique
Bonjour. On considère une extension galoisienne de corps de nombres $K/E$. Je lis partout que l'extension $H_K/E$ est galoisienne (où $H_K$ est le corps de Hilbert de $K$, c'est-à-dire l'extension abélienne non ramifiée maximale de $K$) mais je n'arrive pas à en trouver de démonstration, l'un d'entre vous aurait-il un argument ?
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Réponses
Une idée. Tu prends un automorphisme $\sigma \in \text{Gal}(\overline{E} \mid E)$. Tu le fait agir sur la situation et tu constates (en écrivant la décomposition des idéaux premiers) que $\sigma(H_K) \mid \sigma(K)$ est non ramifiée, et comme $K \mid E$ est galoisienne, on a $\sigma(K) = K$. Bilan $\sigma(H_K) \mid K$ est non ramifiée.
Du même genre que moduloP. Peut-être il faut être convaincu (ou le voir écrit noir sur blanc) de ``l'unicité unique'' : à l'intérieur d'une extension de $K$ (je parle ici de $\overline E$), s'il y a un exemplaire du corps de Hilbert de $K$, alors celui-ci est unique. Etant entendu que ``corps de Hilbert de'' est caractérisé par certaines propriétés.
As tu quelque part le (ou un) cahier des charges du corps des classes de Hilbert ? On en voit par exemple un à la page 7 (Conjecture 4.1 à l'époque de Hilbert) où Hilbert demandait 4 propriétés http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/cfthistory.pdf
Donc Hilbert à conjecturé, Takagi a prouvé les choses et Artin à explicité un isomorphisme prédit par Takagi. Pour Chevalley et bien je ne sais pas ce qu'il a fait avec ses idèles.
PS. Le théorème de Bauer (theorème 2.6) est sympa.
Tu as oublié Weber. Et l'introduction de la notion de $K$-modulus $\mathfrak m$ (on dit cycle, je crois).
Autre chose : je suis bête, le cahier des charges minimal (avec lequel on ne fait pas grand chose à mon avis, sauf de donner une définition) pour le corps des classes de Hilbert $H_K$ d'un corps de nombres $K$ est le suivant : plus grande extension de $K$ dans $\overline K$ qui soit abélienne et non ramifiée. Il faut déjà en montrer l'existence.