Primalité

Un point de départ possible : $(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Si un nombre premier divise $a+b$ et $ab$, alors il divise aussi...

Math Coss tes combinaisons linéaires me paraissent assez compliquées, ou j'ai raté une étape.
Considérer $a(a+b)-ab$ et $b(a+b)-ab$ est plus simple.
Si on veut éviter le recours à la décomposition en facteurs premiers, on peut finir avec ce petit lemme appliqué deux fois :
Si $mu+nv=1$, alors $m^2u^2+n(2muv+nv^2)=1$, ce qui prouve que si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, il en est de même de $m^2$ et $n$.

$\def\ua{\underline a}$Une mini-mini-remarque. Dans un anneau commutatif quelconque, on a :
$$
\langle a,b\rangle^2 \subset \langle a+b, ab\rangle \qquad \hbox {i.e.} \qquad a^2, ab, b^2 \in \langle a+b, ab\rangle \qquad (\star)
$$
Cela se voit en écrivant que $a,b$ sont racines de $(X-a)(X-b) = X^2 - (a+b)X + ab$, ce qui donne les certificats :
$$
a^2 = a \times (a+b) + (-1) \times ab, \qquad\quad b^2 = b \times (a+b) + (-1) \times ab
$$
Une fois acquis l'inclusion à gauche de $(\star)$, si $1 \in \langle a,b\rangle$, alors $1 \in \langle a,b\rangle^2$ (facile) donc $1 \in \langle a+b, ab\rangle$, ce que l'on peut certifier.

Pour une suite $\underline a = (a_1, \cdots, a_n)$, il y a également une appartenance utilisant les $n$ fonctions symétriques élémentaires :
$$
a_i^n \in \langle \sigma_1(\ua), \sigma_2(\ua), \cdots, \sigma_n(\ua) \rangle
$$
Et du coup, un exposant dont je ne me souviens plus :
$$
\langle \underline a\rangle^\bullet \subset \langle \sigma_1(\ua), \sigma_2(\ua), \cdots, \sigma_n(\ua) \rangle
$$
Rappel : c'est une mini-remarque (et c'est Dimanche).

Merci Chaurien pour cette belle égalité bézoutienne, je la note dans mes tablettes pour mes TS, même si je crois que mon petit lemme est plus simple.

Si tu veux faire apparaître $a^2$ fois quelque chose plus $b^2$ fois quelque chose, il suffit de développer $(au+bv)^3$.

@Gilles
Est ce que le plus important n'est pas d'expliquer comment on trouve plutôt que ce que l'on trouve ? C'est une question. Au fait, que veux obtenir dans ton dernier post ? Un exposant $e$ tel que :
$$
\langle a,b\rangle^ e \subset \langle a^2, b^2\rangle
$$
C'est cela ? De manière explicite ? Si oui, $e = 3$ suffit car $a^i b^j \in \langle a^2, b^2\rangle$ dès que $i+j = 3$ vu que cette égalité entraîne $i \ge 2$ ou $j \ge 2$.

Mais peut-être que je n'ai pas compris quel était l'objet de ton dernier post. Dans ce cas, sorry.