$\chi(p)\in\{0,1\}$ pour presque tout $p$

« Presque pour tout $p$ », cela signifie bien « pour tous les $p$ sauf un nombre fini » ? Alors oui.

En effet, pour un caractère de Dirichlet de conducteur $n$, d'après le théorème de progression arithmétique de Dirichlet, dans l'ensemble $P$ des nombres premiers $\ge p_0$, on trouve des nombres premiers dans toutes les classes modulo $n$. L'ensemble des $\{\chi(p),\ p\ge p_0\}$ est donc $\chi(\Z/n\Z)$ tout entier. Enfin, seul le caractère principal ne prend que deux valeurs ($0$ hors de $(\Z/n\Z)^\times$ et $1$ sur $(\Z/n\Z)^\times$, cela caractérise le caractère principal).