Un cube !?
dans Arithmétique
De temps en temps on reste coi.
Si $a$, $b$, $c$ sont des entiers relatifs
et si $k := a/b+b/c+c/a$ est un entier relatif,
alors $abc$ est un cube.
Référence plus tard.
Si $a$, $b$, $c$ sont des entiers relatifs
et si $k := a/b+b/c+c/a$ est un entier relatif,
alors $abc$ est un cube.
Référence plus tard.
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Réponses
$$
k = a/b + b/c + c/a = 12/9 + 9/2 + 2/12 = 4/3 + 9/2 + 1/6 = 6
$$
Donc $6$ est un cube. Effectivement, j'en reste coi.
Soit $p$ un nombre premier. Notons $\alpha,\beta,\gamma$ les $p$-valuations de $a,b,c$ respectivement. Par hypothèse, $abc$ divise $a^2c+b^2a+c^2b$ donc $p^{\alpha+\beta+\gamma}$ divise $a^2c+b^2a+c^2b$. Montrons que $\alpha+\beta+\gamma$ est un multiple de $3$. Quitte à effectuer une permutation circulaire, on peut supposer que $\alpha=\min(\alpha,\beta,\gamma)$. Alors $p^{\alpha+\beta+\gamma}\mid c^2b$, donc $p^{\alpha+\beta+\gamma}\mid a^2c+b^2a=a(ac+b^2)$, et donc $p^{\beta+\gamma}\mid ac+b^2$.
Premier cas : $p^{\beta+\gamma}\mid ac$ et $p^{\beta+\gamma}\mid b^2$. Alors $\beta+\gamma\leqslant \alpha+\gamma$ et $\beta+\gamma\leqslant 2\beta$, donc $\gamma\leqslant \beta\leqslant \alpha$, et donc $\alpha=\beta=\gamma$.
Deuxième cas : $p^{\beta+\gamma}$ ne divise pas l'un des termes $ac$ ou $b^2$. Si $v_p(ac)\ne v_p(b^2)$ alors $v_p(ac+b^2)=\min(v_p(ac),v_p(b^2))<\beta+\gamma$, ce qui est contradictoire. Donc $v_p(ac)=v_p(b^2)$, autrement dit $\alpha+\gamma=2\beta$.
Dans les deux cas, $\alpha+\beta+\gamma=3\beta$ est bien un multiple de $3$.
Je ne sais pas ce qu'il a voulu dire. Mais il a déjà initié un fil il n'y a pas si longtemps en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1591972. Il y a eu un certain nombre de réponses et des pointeurs sur des spécialistes (des courbes elliptiques). J'ai répondu en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1591972,1593718#msg-1593718. Il intervenait, pour un $n$ donné (nommé $k$ maintenant) deux cubiques projectives :
$$
a^2 c + b^2 a + c^2 b = nabc, \qquad\qquad x^3 + y^3 + z^3 = nxyz
$$
et une isogénie de degré 3 :
$$
\varphi : (x : y : z) \longmapsto (a : b : c) = (y^2z : z^2x : x^2 y)
$$
Et $\varphi$ est surjective (cf Dave Rusin par exemple ou d'autres articles pointés). Et on a:
$$
abc = (xyz)^3
$$
Et beaucoup, beaucoup d'autres propriétés (cf les articles pointés, j'en ai tiré 3 je crois).
Un truc que je ne comprends pas.
Je fais référence à l'autre discussion que tu avais initiée in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1591972,1591972#msg-1591972
Pour un entier $n \ge 1$ et $a,b,c$ entiers positifs vérifiant $a^2c + c^2b + b^2a = nabc$, la propriété il existe des entiers $x,y,z$ tels que $a = y^2z$, $b = z^2x$, $c = x^2y$ (prouvant largement que $abc$ est un cube), avait été donnée par uvdose. Car c'est comme cela qu'il avait programmé et obtenu ses solutions.
Ensuite, Jandri avait pointé O.E.I.S http://oeis.org/A072716 avec une référence à Bremner & Guy d'une part et à Dave Rusin, d'autre part. Et on voit la propriété ci-dessus à la page 2 de https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S0013091500023397 dans l'article de Bremner & Guy. Et la preuve figure aux pages 8 et 9 du .txt de Dave Rusin.
Que peut-on en déduire ?
Ta remarque est correcte.
Je n'ai pas fait le rapprochement avec la solution indépendante de Bataille, que voici :