Orthonormalité de Selberg

Bonjour
Je mène toujours des investigations sur les automorphismes de fonctions L (voir le pdf joint). Si on admet la conjecture d'orthogonalité de Selberg, le fait qu'un tel automorphisme $ \phi $ envoie une fonction primitive sur une fonction primitive se traduit par $n_{\phi(F)}=n_{F} $.

En notant $ (F\mid G) $ la quantité $\ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{\log\log x}\sum\limits_{p\le x}\dfrac{a_{n}(F).\bar{a_{n}(G)}}{p} $ on a $n_{F}=(F\mid F) $.

1) Est-ce que ça implique que $ (F\mid G)=(\phi(F)\mid\phi(G) $ pour tous $ F $ et $ G $ ?

2) Si oui en notant $ a'_{n}(F) $ le coefficient de Dirichlet d'indice $ n $ de $ F'=\phi(F) $ et en définissant $ \eta_{n} $ par $ a'_{n}(F)=a_{n}(F).\eta_{n}(F) $ , a-t-on pour presque tout $ n $ l'égalité $ \vert\eta_{n}(F)\bar{\eta_{n}(G)}\vert=1 $ pour tous $ F $ et $ G $ ?

3) Si oui peut-on en déduire que $ \phi $ est l'identité, l'application qui a $ F $ associe sa duale ou le twist par un caractère de Dirichlet ?

Merci d'avance.