Nombres complémentaires

Sylvain · January 2018

Bonjour,

Soient $ a $ et $ b $ deux entiers supérieurs à $ 3/2 $ sans facteur carré avec $ a\lt b $ et $ b-a\gt 1 $ . On dira que $ a $ et $ b $ sont complémentaires si $ ab $ est une primorielle. A-t-on alors nécessairement $(b-a,a+b)\in\mathbb{P}^{2} $? J'en doute fort mais je n'ai pas trouvé de contre-exemple après quelques essais. Je continue de chercher.

Sylvain · January 2018

Ah, j'ai un contre exemple :$ a=2 $ , $ b=3\times 5\times 7\times 11=1155 $ . $ 1153=1155-2 $ est premier mais $ 1157=1155+2=13\times 89 $ .

Peut-on donc estimer en fonction de $ x $ le nombre de paires $ (a,b) $ avec $ b\le x $ telles que $ \Lambda(b-a)\Lambda(a+b)=0 $?

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