Nombres congruents et courbes elliptiques

Une référence très agréable à lire et abordable est le "Rational points on elliptic curves" de Silverman et Tate.

@Seirios,
En quelques mots. Je commence de manière moche. On fixe un entier $n \ge 1$ (l'aire du triangle rectangle) et on considère les triplets $(a,b,c)$ d'entiers vérifiant :
$$
a^2 + b^2 = c^2 \quad (\hbox {triangle rectangle}) \qquad \qquad n = ab/2 \quad(\hbox {d'aire $n$})
$$
On ne se soucie surtout pas (pour l'instant) de positivité. On peut toujours mettre des valeurs absolues pour récupérer un vrai triangle. Mais ne pas le faire ici. On associe à $(a,b,c)$ un point de la courbe elliptique (que je donne via une équation affine, forme Weierstrass)
$$
E_n : \qquad \qquad y^2 = x^3 - n^2x = x(x-n)(x+n)
$$
Et réciproquement, il y a un morphisme (en apparence rationnel) $(x,y) \to (a,b,c)$.
Voilà par exemple un jeu de formules. Pour éviter les coquilles, un extrait d'un programme :

// Dans le sens (a,b,c) -> (x,y)  
x := a*(a-c) / 2 ;      assert x eq -n*b / (a+c) ;
y := a*x ;              assert y eq a^2 * (a-c) / 2  and  y  eq -2*n^2 / (a+c) ;
assert y^2 eq x^3 - n^2*x ;

// Dans l'autre sens (x,y) -> (a,b,c)
assert a eq y/x and  a eq (x^2 - n^2) / y ;
assert b eq 2*n*x / y   and  b eq 2*n/a ;
assert c eq -(x^2 + n^2)/y ;

J'espère que c'est lisible. Ne pas se soucier des divisions (j'avais prévenu du côté moche) car le bon cadre est l'homogénéisation du côté de $(a,b,c)$.

Faire attention à d'autres choix possibles dans la littérature (histoires de signes) et surtout une histoire de double sur la courbe elliptique.

La courbe elliptique $E_n$ possède 4 points : 3 points en $y=0$ avec $x = 0,\pm n$ et le point à l'infini $(0_x : 1_y : 0_z)$. Ce sont les points de 2-torsion. Et les seuls points de torsion d'ailleurs. Ces points ne donnent rien d'intéressant du côté de $(a,b,c)$.

Le Graal : la recherche d'un point d'ordre infini de $E_n$.

C'est volontairement moche car du côté de $(a,b,c)$, ce n'est pas homogène. Préférable de passer dans $\mathbb P^3_{(a:b:c:d)}$ comme intersection de deux quadriques :
$$
a^2 + b^2 = c^2 \qquad \qquad ab = 2nd^2
$$
Et là, tout devient joli.


Des valeurs sûres (en plus de Coates)

J. Fresnel, Géométrie et arithmétique, APMEP numéro 466, Septembre-Octobre 2006 https://www.apmep.fr/Geometrie-et-arithmetique

K. Conrad : deux formats pour le prix d'un http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/congnumber.pdf, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/articles/congruentnumber.pdf

Tibouchi (et Caruso) : http://xavier.toonywood.org/popularization/mathpark/congruent.pdf

W. Stein https://wstein.org/simuw06/notes/notes.pdf

Plus avancé :

Koblitz Introduction to Elliptic Curves and Modular Form. Il consacre le livre entier à $y^2 = x^3 - n^2x$.

G. Henniart : Nombres congruents, courbes elliptiques et formes modulaires. Je n'ai pas trouvé la version française. Traduction de Lemmermeyer http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/publ/guy.pdf

Claude Quitté a écrit:

G. Henniart : Nombres congruents, courbes elliptiques et formes modulaires.
Je n'ai pas trouvé la version française.
Traduction de Lemmermeyer http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/publ/guy.pdf

Il me semble que j'ai la version papier (française) dans mon bureau. A l'occasion, je la scannerai.