Sujet déjà étudié ?
dans Arithmétique
Bonjour,
Soit $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux et tels que $0<a<b$.
Je m'intéresse aux suites d'entiers générées par les multiples entiers de $a$ - c'est-à-dire $a,2a,3a,...$ - pris modulo $b$.
Quelqu'un sait-il si le sujet a déjà été étudié quelque part.
Merci d'avance.
Soit $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux et tels que $0<a<b$.
Je m'intéresse aux suites d'entiers générées par les multiples entiers de $a$ - c'est-à-dire $a,2a,3a,...$ - pris modulo $b$.
Quelqu'un sait-il si le sujet a déjà été étudié quelque part.
Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour,
Dans ces conditions, \(a+b\mathbf{Z}\) engendre \(\mathbf{Z}/b\mathbf{Z}\) : tu as une jolie suite périodique qui fournit un joli \(b\)-gone étoilé (ou pas…) sur l'ensemble des racines \(b\)-ièmes de l'unité dans \(\mathbf{C}\). -
Bonjour
Comme $a$ est premier avec $b$, la classe de $a$ modulo $b$ est inversible dans l'anneau $\Z/b\Z$. Le groupe des inversibles de l'anneau $\Z/b\Z$ est assez bien connu. C'est ce genre de choses que tu cherches?
Je n'avais pas vu qu'il y avait déjà une réponse! -
Les décimales successives de $137174210/1111111111$ donnent les termes de la suite dans le cas $a=1$ et $b=10$.
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Merci à tous,
Je me demandais simplement si cette sorte de suite (à savoir $\{a, 2a, 3a, ... , (b-1)a, ba\}$, calculée modulo $b$, avec $a$ et $b$ premiers entre eux et $b>1$) avait déjà été étudiée quelque part au moyen de procédés purement arithmétiques, et pas algébriques, tout comme Gauss a étudié dans ses Disquisitiones Arithméticae à la section "Résidus de puissances" les suites d'entiers générées par les puissances $a^1, a^2, a^3, ... , a^{p-1}$ calculées modulo $p$ ($p$ étant un nombre premier et $a$ un entier non multiple de $p$).
Parce que l'algèbre abstraite et moi ... ça fait deux. -
Gil Bill a écrit:au moyen de procédés purement arithmétiques, et pas algébriques
Que signifie ce passage de ton message? -
Bonsoir, Fin de partie,
Cela signifie que j'aimerais si possible trouver une approche de la question qui fasse la part belle à l'arithmétique élémentaire (division euclidienne, identité de Bézout, lemme de Gauss, relations de congruence, ...) plutôt qu'aux notions de groupe, anneau, corps, etc. -
Tu voulais dire une étude avec des outils élémentaires enseignés en terminale S?
(travailler avec les congruences c'est travailler dans un certain anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et on peut s'intéresser au groupe des unités de cet anneau) -
Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, la suite des $a+kb$ avec $k \in \mathbb Z$ contient une infinité de nombres premiers (c'est le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet). C'est un joli résultat dont la démonstration mélange algèbre, analyse et arithmétique, donc ça ne répond pas à ta question, mais c'est toujours bon à savoir :-)
-
Bonjour, Poirot, et merci pour cette information intéressante.
Je réponds à Fin de partie :
Je cherche une étude qui évite les détours par les notions d'algèbre. A la façon "Gauss", quoi.
(je me répète, je sais). -
Tu sais, ce que faisais Gauss était de l'algèbre sans la nommer... Groupes, anneaux et corps pointaient toujours leurs nez dans les travaux de Gauss, il ne les appelait juste pas comme ça !
Je pense que c'est dommage de se priver de ces jolis outils, qui paraissent abstraits quand on regarde les définitions, mais qui sont on ne peut plus concret quand justement on fait de l'arithmétique avec. Par exemple le petit théorème de Fermat est plié en deux lignes une fois qu'on connaît le théorème de Lagrange sur les groupes (qui est élémentaire). -
Si $b$ est premier, alors l'application qui à $n$ compris entre 0 et $b-1$ associe le produit $na \pmod b$ est une bijection de $\{0, 1, ..., b-1\}$ dans lui-même.
Si deux nombres sont différents modulo $b$, alors leurs images par cette application le seront également.
C'est ce qui apparait dans la démonstration arithmétique du petit théorème de Fermat.
Les éléments modulo $b$ de ta suite sont à l'ordre près les éléments ${0, 1, 2, ..., b-1}$.
On a:
\begin{equation}
1.2.3...(b-1) \equiv a.2a.3a...(b-1)a \pmod b
\end{equation}
Puisque tous les éléments $1, 2, ..., b-1$ sont premiers avec $b$, ils possèdent un inverse modulo $b$. On peut donc simplifier pour obtenir le petit théorème de Fermat.
\begin{equation}
1 \equiv a^{b-1} \pmod b
\end{equation}
... -
Merci, df, je suis bien arrivée à ce genre de résultat...par des moyens d'arithmétique élémentaire (sans la notion de bijection).
Poirot, je suis entièrement d'accord avec toi : Dans les Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, on trouve bien en filigrane tout un tas d'éléments repris plus tard par l'algèbre.
Ce qu'il y a, c'est que, si je comprends Gauss, en revanche, malgré mes efforts je ne comprends pas l'algèbre. :-(
Je sais, ça doit vous paraître bizarre. Mais apprendre l'algèbre abstraite toute seule, ce n'est pas facile. -
@gill bill
la notion de bijection est tellement naturelle et omniprésente qu'on ne peut la limiter à la seule algèbre dite "abstraite".
Maintenant je suis d'accord avec toi: je cherche toujours dans la mesure du possible à rester au plus près de l'intuition arithmétique sans invoquer des structures d'anneaux ou de groupes qui pourtant sont toujours bel et bien là.
Concernant ton problème, je me demandais ce qui se passerait si le module $b$ est composé. Par exemple $a=7$ et $b=24$.
Ils sont bien premiers entre eux puisque 7 ne fait pas partie des diviseurs de 24.
En fait je me demandais juste si sous certaines conditions, il pouvait y avoir des répétitions dans la suite.
Je vais y réfléchir.
Bonne journée.
... -
Soit $p$ premier impair.
On peut considérer le produit, modulo $p$, des nombres $1,2,...,p-1$
(ce qui revient à prendre $a=1$ et $b=p$)
L'anneau $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}{p\mathbb{Z}}$ est un corps.
Ce qui signifie que pour tout élément de cet anneau qui n'est pas la classe de $0$ modulo $p$ il existe un autre élément (non nécessairement distinct) $y$ tel que $xy\equiv 1 \mod{p}$.
Quels sont les éléments $x$ de $\mathbb{F}_p$ tels que $x^2\equiv 1\mod{p}$?
Cette congruence est équivalente à $(x-1)(x+1)\equiv 0\mod{p}$
L'anneau $\mathbb{F}_p$ est un corps donc il est, en particulier, intègre.
Donc,
$(x-1)(x+1)\equiv 0\mod{p}$ est équivalente à $x-1\equiv 0\mod{p}$ ou $x+1\equiv 0\mod{p}$
Donc,
$x^2\equiv 1\mod{p}$ si et seulement si $x\equiv -1\mod{p}$ ou $x\equiv 1\mod{p}$
Or,
$ -1\equiv p-1\mod{p}$
NB: puisque $p$ est premier et impair ,donc différent de 2, les classes de $1$ et de $p-1$ sont distinctes.
Ainsi, les éléments de l'ensemble non vide composé des nombres $2,3,...,p-2$ peuvent être appariés deux à deux et le produit modulo $p$ des deux nombres d'une paire est congru à $1$.
$1\times 2\times ...\times p-1\equiv 1\times (p-1)\equiv -1\mod{p}$
Dit autrement,
Si $p>2$ est un nombre premier alors $(p-1)!+1$ est divisible par $p$.
(c'est une partie d'un théorème de Wilson. La réciproque est vraie mais pour être démontré de façon analogue cela nécessite de savoir que parmi les anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ seuls ceux pour lesquels $n$ est premier sont des corps. Ce qui revient à montrer que toute classe qui n'est pas celle de $0$ est inversible (au sens de la multiplication) modulo $n$ seulement quand $n$ est premier.)
PS:
Pour $p=2$ on vérifie directement que $(2-1)!+1$ est divisible par $2$ -
Bonjour Gil Bill,
Je me permets de te répondre car j'ai vu ton ``l'algèbre abstraite et moi ... ça fait deux'' (s'il avait été mention de ``ça fait trois'', je n'aurais pas répondu). Je vois aussi ton``apprendre l'algèbre abstraite toute seule, ce n'est pas facile.''. Eh bien, figure toi que je partage ce point du vue au sens où je trouve que l'Algèbre est parfois anti-intuitive, que certaines approches sont plus que glaciales ...etc...
En France, dans l'enseignement, on a beaucoup mis le paquet sur les structures : groupes, anneaux, corps et tout le truc, de manière pas toujours motivante. Il m'est arrivé d'émettre de légères réserves du genre ``A quoi cela sert si on n'en fait rien, ou si peu ?''. Invariablement, la réponse était ``Tu nous emm.rd.s, il faut bien faire de la TECHNIQUE. Quand ils ou elles --- les étudiant(e)s -- auront vu suffisamment de technique, on pourra faire des choses plus intéressantes. Qu'as tu a proposer d'ailleurs ?"". Comme en général je n'avais pas réfléchi plus que cela, je fermais ma gu.ule.
Toujours est-il qu'il arrive que l'on fasse de la technique pour la technique. Par exemple : soit $I$ un idéal d'un anneau commutatif. Montrer que :
$$
\{ x \in I \mid \hbox {il existe un $n$ tel que $x^n \in I$} \} \quad\hbox {est un idéal de $A$}
$$
Voici un énoncé qu'il est palpitant pour celui qui apprend (immense avantage pour les auteurs, des énoncés comme cela, c'est pas trop cassant à trouver).
Mais revenons au sujet. Je vois que tu mentionnes ``A la façon Gaus'' et les Disquisitiones Arithmeticae de Gauss. Ceci veut dire que tu lis dans le texte ?
As tu entendu parler de la loi de réciprocité quadratique ? Sais tu qu'il y a des preuves abordables ? (avec des congruences, à la Gauss, mais avec deux moduli, un nombre premier et un polynôme, j'ai vu cela chez A. Weil dans ``La cyclotomie, jadis et naguère'').
Connais tu la théorie des formes entières binaires quadratiques $ax^2 + bxy + cy^2$ de Gauss ? Il y aurait peut-être là un terrain pour toi ? Avec un glissement progressif vers les anneaux quadratiques et les idéaux. Car il faut quand même avouer que la multiplication des classes de formes quadratiques de même discriminant ``à la Gauss'', c'est un tantinet compliqué ; alors que l'interprétation en termes d'idéaux est si simple. Un tour de force de Gauss, sans aucun doute.
Peut-être hors-sujet. Une thèse (Histoire des mathématiques) avec comme titre : Un rapprochement curieux de l’algèbre et de la théorie des nombres. Etudes sur l’utilisation des congruences en France de 1801 à 1850 in https://www.imj-prg.fr/theses/pdf/2011/jenny_boucard.pdf
Tu connais ? -
Merci, Fin de partie, pour ces éléments d'arithmétiques toujours fort intéressants.
En fait, df, ce que je pense avoir démontré c'est ceci :
Si les entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les $b$ premiers multiples $1a, 2a, 3a, ... , ba$ de $a$, pris modulo $b$, génèrent les $b$ premiers entiers compris entre $0$ et $b-1$.
Ne me dis pas que je me suis trompée. -
@Gil Bill,
Dans ton dernier post, une phrase étrange ``... Je pense avoir démontré ...etc... Ne me dis pas que je me suis trompée (en t'adressant à df)''. Mais on t'a déjà répondu, dès le départ du fil, que c'était OK. Alors quid ?
Par ailleurs, si je peux me permettre, remonter constamment $\Z/b\Z$ dans l'intervalle $[0 .. b-1]$, ce n'est pas à mon avis une attitude à garder indéfiniment si on veut prendre un peu de recul. Do you see what I mean ? -
Excuse-moi, claude quitté, je n'avais pas vu ton premier message quand j'ai rédigé le mien. A mon avis, on devait rédiger ensemble.
En effet, je lis Gauss dans le texte. Ce n'est pas toujours facile, au contraire, mais c'est le seul moyen que j'aie trouvé jusqu'à présent pour faire le lien entre arithmétique et algèbre. Comme Poirot l'a rappelé, les éléments d'algèbre se trouvent déjà chez Gauss, même s'ils sont présentés différemment.
Oui, j'ai déjà entendu parler de la loi de réciprocité quadratique. Gauss en propose d'ailleurs une démonstration dans ses Disquisitiones Arithméticae, mais je ne suis pas encore arrivée jusque là dans ma lecture.
Par contre, je ne connais pas la théorie des formes entières binaires quadratiques.
Je ne connaissais pas non plus cette thèse, dont tu me donnes une référence. Merci beaucoup.
En fait, je ne sais même pas si l'algèbre peut aider à résoudre le problème qui est à l'origine de ce fil. Pour moi, c'est juste un problème d'arithmétique. Le voici (je précise qu'il n'est pas de moi) :
Si $a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux avec $1<a<b-1$,
et si $k$ est un entier tel que $1<k<b-1$,
alors, est-il possible de trouver au moins une valeur pour $a,b$ et $k$ entraînant le fait que les $k$ premiers multiples de $a$ calculés modulo $b$ - soit $a, 2a, 3a, ... , ka$, pris modulo $b$ - génèrent un ensemble de $k$ entiers consécutifs, à l'ordre près ?
Je ne demande à personne d'y répondre. Je pense d'ailleurs avoir trouvé la solution. C'est juste pour expliquer pourquoi je m'intéresse à la structure de ce genre de suite...que Gauss ne semble pas avoir étudiée. Le vilain ! -
Gill Bill:
Tout ce qui est écrit dans le bouquin de Gauss, qui à l'époque était révolutionnaire, tiendrait surement aujourd'hui condensé en moins de quelques dizaines de pages avec les concepts de groupe/d'anneau.
Il ne faut pas avoir peur d'apprendre des choses nouvelles.
Nouvelles choses ne veut pas dire que c'est nécessairement compliqué et difficile même si je ne vais pas prétendre que les mathématiques sont quelque chose de simple. -
@ Fin de Partie
Je te conseille de regarder toi aussi ce magnifique livre que sont les Recherches Arithmétiques.
https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Gauss/N0029060_PDF_1_530.pdf
publié alors que Gauss avait 24 ans.
@ Gill Bill
C'est effectivement un ouvrage novateur, et certains passages ont fait l'objet de commentaires ultérieurs qui en simplifient l'étude. Par exemple quand tu arriveras à le première démonstration de la loi de réciprocité quadratique, je te conseille de ne pas rentrer dedans sans précaution, car c'est un peu brut et tu vas y perdre du temps. Reparlons-en à ce moment si tu veux.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
@Gil Bill
Toi, 4 lignes avant la fin dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1605362,1606020#msg-1606020 : alors, est-il possible de trouver ...etc... J'ai du mal à comprendre ce que tu veux dire : s'agit-il de trouver tous les triplets $(b,a,k)$ vérifiant ....etc... ? Tu n'avais pas encore parlé de cela, avant, n'est-ce pas ? -
Je vous remercie tous pour vos interventions.
Merci, Chaurien, pour l'aide que tu me proposes à l'avance.
Claude quitté,
en effet, le problème que j'ai proposé dans mon dernier message, et qui n'est pas de moi, c'est la première fois que j'en parle ici. Comme je l'ai dit, il s'agissait juste de donner le point de départ de ce fil.
La question est :
"Les données du problème étant ce qu'elles sont (voir mon message précédent), pouvez-vous trouver un triplet ($a,b,k$) tel que les $k$ premiers multiples $a, 2a, ... , ka$ de $a$, pris modulo $b$, génèrent $k$ entiers consécutifs, à l'ordre près ?"
Cela dit, je ne demande à personne d'y répondre. Je vous ai déjà suffisamment sollicités. -
Gil Bill
Pour l'instant, je n'ai pas trouvé de triplet $(a,b,k)$. Cela t'aurait fait plaisir que j'en trouve un ? Ou bien cela te fait plaisir que je n'en ai pas trouvé ?
PS : j'avais cru en trouver mais ceux que j'avais trouvés étaient tels que $a = b-1$. Du coup, j'ai bien relu les clauses $1 < a < b-1$, $1 < k < b-1$ et $a \wedge b = 1$. -
Claude quitté,
La solution ne viendra pas de moi, car je ne fais que penser l'avoir. Donc, je ne voudrais pas t'influencer, ni dans un sens ni dans l'autre. -
@Gil Bill
Tes propos ``je ne fais que penser l'avoir'' sont bien mystérieux. Comment va-t-on pouvoir échanger si tu fais autant de mystères ? Est ce un secret que tu veux garder pour toi ? Car moi, je veux bien être influencé.
Bon, allez, je me mouille : je pense qu'un tel triplet $(a,b,k)$ n'existe pas. Rappel : les clauses sont $a \wedge b = 1$, $1 < a < b-1$ et $1 < k < b-1$. Alors l'ensemble des $\{ (ia) \bmod b : 1 \le i \le k\}$ n'est pas un intervalle de $\N$, c'est que je pense.
Il faut noter que ce type de problème n'est pas uniquement une propriété de $\Z/b\Z$ car il faut remonter dans $\Z$. Vois tu ce que je veux dire ? Contrairement à, par exemple, $\overline a$ est un générateur du groupe additif $\Z/b\Z$ (ce qui est dû au fait que $a,b$ sont premiers entre eux).
Un autre exemple pour essayer de faire sentir la différence entre une propriété interne ou pas à $\mathbb F_p^*$ ($p$ premier impair). Le nombre de carrés de $\mathbb F_p^*$ est le même que le nombre de non-carrés. C'est une propriété interne. Mais considérons maintenant : $p \equiv 3 \bmod 4$, $p \ge 7$, $R_p$ le nombre de carrés modulo $p$ dans l'intervalle $[1 .. {p-1 \over 2}]$ et $N_p$ le nombre de non carrés dans ce même intervalle. Alors $R_p > N_p$. Ceci n'est pas interne à $\mathbb F_p^*$.
En passant : l'énoncé est élémentaire, mais la preuve non (je recopie ce qu'écrivent Frölich & Taylor, 6.4 page 308).
PS : si je te demande d'où vient ton histoire de triplet $(a,b,k)$, quelle conséquence cela peut avoir ..etc..? je suppose que cela restera sans réponse. -
@ claude quitté :
Il n'y a aucun mystère ! :-)
Je t'explique :
On m'a dernièrement posé un problème : c'est ce même problème que j'ai fini par poser moi-même dans ce fil, il y a peu (voir trois de mes messages avant celui-ci).
En fait, je pense avoir trouvé la solution : tout comme toi, je pense qu'aucun triplet (a,b,k) ne peut convenir. Mais pour arriver à ce résultat, je dois passer par un raisonnement tortueux qui ne compte pas moins de six pages manuscrites recto-verso ! Considérant que cela fait beaucoup, j'ai demandé sur ce forum si la suite d'entiers $a, 2a, 3a, ... , ba$, dont les éléments sont pris modulo $b$, n'avait pas déjà été étudiée. Si oui, cela aurait éventuellement pu alléger considérablement mon travail, voire le confirmer .
Voilà, c'est tout. Ce n'est rien d'autre que ça.
Je réalise que ce n'est pas très ambitieux. -
Bonjour,
$a$ et $b$ sont donnés étrangers tels que $2\leq a \leq b-2$.
Notations:
$b:=qa+r$ et $b:=Qr+R$ avec $0<R<r<a<b$.
Pour tout $x$ entier, $x_b:=$ le reste de la division de $x$ par $b$
Pour tout $k>1$, $E_k:= \{(ia)_b; i\leq k\}$
Il s'agit de montrer que, pour tout $1<k<b-1$, $E_k$ n'est pas un intervalle.
On sait que $E_{b-1}=1, b-1$. De plus, $((b-1)a)_b= b-a$ si bien que $E_{b-2} = 1, b-1 - \{b-a\}= 1, b-a-1 \vee b-a+1, b-1 :=E^-\vee E^+$.
On va montrer que, pour tout $1<k<b-1$, $E_k$
ou bien est constitué d'élements en progression arithmétique de raison différente de $1$ (:=cas A)
ou bien contient un élément de $E^-$ et un élément de $E^+$ (:=cas
,
ce qui suffit à la preuve.
Premier cas: $q>1$
Si $k\leq q$, $E_k:=\{(ia)_b; i\leq k\}=\{(ia); i\leq k\}$. Comme $a\geq 2$, cas A.
Sinon, $E_k$ contient tout à la fois $a_b$ et $(qa)_b,$, soit $a$ et $b-r$: le premier appartient à $E^-$ ( car $q>1$ et donc $a<b-a$), le second à $E^+$ (car $b-r>b-a$): cas B
Second cas: $q=1$
Si $k\leq Q$, $E_k:=\{(ia)_b; i\leq k\}=\{(i(b-r))_b; i\leq k\}=\{(b-ir); i\leq k\}$. Comme $r\geq 2$ (car $b=a+r$ et $a<b-1$): cas A.
Sinon $E_k$ contient tout à la fois $(b-r)_b$ et $(b-Qr)_b,$, soit $b-r$ et $R$: le premier appartient à $E^+$ ( car $b-r>b-a$), le second à $E^-$ (car $R<r=b-a$): cas B.
A vérifier, évidemment ;-)
Cordialement
Paul -
Bonjour.
Des affirmations gratuites !
Il y a une progression arithmétique ou bien des progressions arithmétiques de premiers termes différents ?
Amicalement -
Bonjour Paul,
Pour l'instant, j'ai étudié ton premier cas i.e. $q > 1$ et je n'ai pas vu d'erreur. Avec tes notations et toujours dans ce premier cas, une mini-remarque pour $k\ge q$ (en pompant sur toi) :
$$
a \le b-a \le (qa)_b = b-r \quad \hbox {a fortiori, puisque $q \le k$}\quad \min(E_k) \le b-a \le \max(E_k)
$$
Ceci confirme que $E_k$ n'est pas un intervalle : $b-a$ assure le ``trou'' (car bien sûr, comme $b-a = ((b-1)a)_b$, il n'est pas dans $E_k$). Dans cette formulation pas vraiment de $E^+$ ou de $E^-$ et $k$ peut prendre la valeur $q$. Vraiment une mini-remarque.
Je crois que je vais laisser à Gil Bill le plaisir de vérifier le second cas $q = 1$. -
Bonjour à tous et merci Claude,
Si jamais ce vilain Gauss s'est posé la question de Gil, on conçoit qu'il n'ait rien publié à son propos!
Je résume/ détaille pour babsgueye mes affirmations affirmèes gratuites par lui:
$K$ désignant $q$ (resp. $Q$) dans mon premier (resp. second) cas,
Pour tout $1<k<b-1$,
0) $b-a$ n'appartient à $E_k$.
1) Les éléments de $E_k$ sont en (une seule!) progression arithmétique ( de raison $a$ ou $r$ selon le cas et donc différente de $1$) ssi $k\leq K$.
2)Un des éléments de $E_k$ est strictement inférieur à $b-a$ et un autre est supérieur à $b-a$ ssi $k\geq K$.
Cordialement
Paul -
Claude quitté : Le plaisir de vérifier le second cas $q=1$ ?
Mais encore faudrait-il que je comprenne la démonstration de depasse !
Bonjour depasse et merci d'intervenir.
Je suis maintenant en possession d'une courte démonstration (que j'arrive à comprendre, on aura tout vu !).
Que préférez-vous : continuer à chercher ou donner votre langue au chat ? (Je trouve cette expression française mystérieuse). -
Salut Gil,
Pour l'instant, je pense que j'ai donné une démonstration et donc ne vois pas pourquoi je continuerais de chercher ou offrirais ma langue à je ne sais quel chat. En revanche, je suis prêt à essayer de comprendre une autre démonstration, la tienne par exemple que, visiblement, tu as envie d'offrir, sous réserve qu'elle soit vraiment courte.
Paul -
Gil Bill,
Un peu pareil que Paul, sauf que moi, je n'ai rien fichu. On veut bien voir ta preuve.
Langue au chat : comment dit-on dans ton pays ? Et ton pays, si ce n'est pas indiscret ?
Note : dans le cas $q > 1$ de Paul, celui-ci a réussi à rendre positive la propriété ``$E_k$ n'est pas un intervalle'' en annonçant ce que $E_k$ est : soit une progression arithmétique de raison $a$ soit possède un trou bien localisé (à savoir $b-a$).
Vois tu ce que je veux dire ? C'est important d'être positif. Par exemple, de toi, une fois que je connaitrais ta nationalité, je ne dirais plus : ``Gil Bill n'est pas français(e)'' mais ``Gil Bill est allemand(e)'' ou bien ``Gil Bill est anglais(e)'' ou bien ....etc... -
Désolée, claude quitté, mes parents m'ont interdit de parler de moi sur la toile et je m'aperçois que je n'ai pas suffisamment suivi à la lettre leurs recommandations.
En effet, depasse, tu as raison. Ma remarque s'adressait plutôt à claude quitté (rien fichu ?! c'est pas bien !) ou à tout qui voudrait encore chercher.
Voici la solution que j'ai à vous proposer. En fait, il s'agit de la solution, réarrangée à ma façon, donnée par la personne ayant posé la question ("nodgim"). J'espère que vous la validerez. J'y vais :
A) Une fois démontré/rappelé le fait que les $b$ premiers multiples de $a$ - soit $a, 2a, 3a, ... , ba$ - pris modulo $b$, génèrent les $b$ entiers compris entre $0$ et $b-1$, Une fois rappelé que tout élément de la suite $a, 2a, 3a, ... , ba$, à l'exception du premier, est égal à l'élément précédent + $a$ (somme prise modulo $b$),
faisons la supposition $S$ que, dans le respect des données du problème, on puisse générer une suite d'entiers consécutifs en calculant (modulo $b$) d'abord $a$ et $2a$, puisque $k>1$, puis éventuellement $3a$, $4a$, et ainsi de suite jusqu'à atteindre le but fixé : générer un intervalle d'entiers consécutifs, à l'ordre près. Trois cas se présentent alors :
1) Si, dans l'intervalle d'entiers consécutifs généré et remis dans l'ordre croissant, $a$ n'est pas aux extrémités inférieure ou supérieure, alors cet intervalle contient aussi $a+1$ et $a-1$.
Mais on ne peut avoir généré $a+1=1+a$ qu'après avoir généré 1 (Voir point B, ci-dessus).
De même, on ne peut avoir généré $a-1$($=b-1+a$, pris modulo $b$) qu'après avoir généré $b-1$ (Voir point.
Cet intervalle, qui contient à la fois $1$ et $b-1$, ne peut contenir une suite d'entiers consécutifs que si on a généré les $b-1$ entiers compris entre $1$ et $b-1$. Or, c'est impossible puisque $k<b-1$.
2) Si, dans l'intervalle d'entiers consécutifs généré et remis dans l'ordre croissant, $a$ occupe l'extrémité inférieure et $n$ l'extrémité supérieure (avec $a<n\leq b-1$), alors cet intervalle, d'où $1$ est absent puisque $a>1$ d'après les données du problème, contient aussi $a+1$.
Mais on ne peut avoir généré $a+1=1+a$ qu'après avoir généré $1$ (Voir point $B$). Donc $1$ appartient à cet intervalle, ce qui est en contradiction avec "d'où $1$ est absent".
3) Si, dans l'intervalle d'entiers consécutifs généré et remis dans l'ordre croissant, $n$ occupe l'extrémité inférieure (avec $1\leq n<a$) et $a$ l'extrémité supérieure, alors cet intervalle, d'où $b-1$ est absent puisque $a<b-1$ d'après les données du problème, contient aussi $a-1$.
Mais on ne peut avoir généré $a-1=b-1+a$ qu'après avoir généré $b-1$ (Voir point $B$). Donc $b-1$ appartient à cet intervalle, ce qui est en contradiction avec "d'où $b-1$ est absent".
Les trois cas étant impossibles, la supposition $S$ est fausse.
Il n'est donc pas possible de générer une suite d'entiers consécutifs dans le respect des données du problème.
Je ne sais pas ce que vous en pensez. -
Gil,
Ta preuve me convainc. Ton utilisation de l'ordre d'apparition des éléments ($a+1$ après $1$ ; $a-1$ après $b-1$) est astucieuse. On peut raccourcir ta preuve à l'aide de ta remarque;
$E_k$ contient au moins deux éléments (car $k>1$) dont $a$.
Si $E_k$ est un intervalle, il contient donc au moins $a-1$ ou $a+1$.
S'il contient $a-1$, il contient $b-1$, donc tous les nombres entre $a-1$ et $b-1$, dont $a+1$,
s'il contient $a+1$, il contient $1$, donc tous les nombres entre $1$ et $a+1$, dont $a-1$.
Finalement $E_k$ contient tous les nombres de $1$ à $b-1$, soit $b-1$ nombres. Or $k<b-1$; Contradiction.
Cordialement
Paul -
@ depasse :
Je rappelle que la démonstration que j'ai donnée dans mon message précédent appartient à un dénommé "nodgim" (même si j'ai pris la liberté d'en retravailler un peu la forme).
Quant à ta dernière démonstration, je l'apprécie d'autant plus que c'est exactement ma démonstration (!), mais écrite avec la plus grande concision. (J'ai manifestement encore des efforts à faire en ce sens). Ainsi, j'avais écrit ceci à nodgim le 23/01/2018 :
"En résumé, mon raisonnement [de 6 pages] repose sur l'importance des éléments $1$ et $b-1$. Il tend à démontrer que, si l'on veut créer une suite d'entiers consécutifs, à l'ordre près, alors il faut obligatoirement générer aussi bien $1$ que $b-1$, ce qui au final force à générer les $b-1$ éléments compris entre $1$ et $b-1$. Or, les données du problème l'interdisent, puisque $1<k<b-1$. D'où, l'impossibilité qui en résulte."
La boucle a l'air d'être bouclée.
Un tout grand merci. -
@LEG la frontière entre TOUT et RIEN est très fine !
Tu supposes quelque chose et après un raisonnement logiquement acceptable, tu tombes sur son contraire, je trouve normal qu'on ne peut rien en conclure. C'est différent que supposer quelque chose et après un raisonnement logiquement acceptable bafouer une vérité mathématique pré-établie (là le raisonnement par l'absurde est acceptable).
Remarque que dans TOUT, il y a tout; il n'y a pas de contre vérité !
Cordialement.
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