Petit théorème de Fermat

Réponses

• Chaurien

  February 2018

  D'après le petit théorème de Fermat, on a : $n^p \equiv n \pmod p$ pour tout $n \in \mathbb Z$ et tout entier naturel premier $p$.
  Il en résulte : $(n^p)^p \equiv n^p \pmod p$, et ainsi de suite.
  D'où par récurrence : $n^{p^k} \equiv n \pmod p$ pour tout $k \in \mathbb N$.
  Bonne soirée.
  Fr. Ch.
• raboteux

  February 2018

  Chaurien écrivait :

  ---

  > ... D'où par récurrence : $n^{p^k} \equiv n \pmod p$, pour tout $k \in \mathbb N$.
  
  Ça se prouve uniquement par récurrence c'est cela ? $k$ n'est pas spécialement premier ?
  Merci pour ton aide.
• Chaurien

  February 2018

  Récurrence sur $k$. Si $n^{p^k} \equiv n \pmod p$ alors $(n^{p^k})^p \equiv n^p \pmod p$, etc.
  Et rends à mon génial congénère Fermat la majuscule que j'avais oubliée, pour ôter un souci à AD ;-).
• Chaurien

  February 2018

  En fait c'est encore une solution balourde qui me fait penser à :
  http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1605400,1605474#msg-1605474
  Le petit théorème de Fermat admet le corollaire immédiat suivant.Quels que soient $n \in \mathbb Z$, et $k \in \mathbb N$, et $p$ entier naturel premier, on a : $n(n^{k(p-1)}-1) \equiv 0 \pmod p$.Comme $560=2^4·5·7=280(3-1)=56(11-1)=35(17-1)$, on en déduit : $n(n^{560}-1) \equiv 0 \pmod p$ pour $p=3,11,17$.
  Et comme $3·11·17=561$, on en conclut : $n^{561} \equiv n \pmod {561}$.
  
  Les nombres de Carmichael sont répertoriés dans l'OEIS <https://oeis.org/A002997>.
  Ce nombre $561$ est le plus petit nombre de Carmichael. Ceci peut nous apprendre à nous méfier des conjectures hâtives, puisqu'il faut aller jusqu'à l'exposant $561$ pour infirmer la réciproque du petit théorème de Fermat.
  Parmi les suivants, il y a $1729$, qui cumule les particularités, et $101101$, qui n'est pas mal non plus.
  Quand j'étais jeune, on ne savait pas s'il y en avait une infinité, mais il me semble que ceci été prouvé en 1994.
  Bonne soirée.
  Fr. Ch.
  [size=x-small]Je pense à vous ce soir, ô morts de février[/size]
• Chaurien

  February 2018

  Un entier $n \ge 2$ est un nombre de Carmichael si et seulement si l'on a : $n=p_1p_2...p_{m}$, où $ m \ge 3$, et où $p_1, p_2, ...,p_{m}$ sont des nombres premiers impairs distincts, et $ p_{i}-1|n-1$ pour $ i=1,2,...,m$ (Théorème de Korselt, 1899).
  Ce résultat peut se prouver élémentairement, niveau Math-Spé.
  06/02/2018
• noix de totos

  February 2018

  Chaurien a écrit:

  mais il me semble que ceci été prouvé en 1994

  
  Oui, par Alford, Granville et Pomerance [1]. Plus précisément, les auteurs montrent que, si $C(x)$ est le nombre de nombre de Carmichael $\leqslant x$, alors $C(x) > x^{2/7}$ pour $x$ suffisamment grand.
  
  Référence.
  
  [1] W. R. Alford, A. Granville & C. Pomerance, There are infinitely many Carmichael numbers, Annals of Math. 140 (1994), 703--722.
• Chaurien

  February 2018

  En plus des maladresses mathématiques, vous noterez que cet énoncé appelle « théorème de Fermat » ce que tout le monde appelle « petit théorème de Fermat » et qu'il écrit le nom de Carmichael avec un tréma. Pauvres étudiants...