Rodéo

Sneg · February 2018

[Message modifié suite à une erreur d’ecriture]

Bonsoir,
Cette "énigme" parviendra-t-elle à rester en selle 10 secondes ?

Il s'agit de trouver la plus petite valeur positive de $x$ dans l'expression : $2017\cdot x\equiv 2^{2017}\pmod{2^{2018}}$ (et non pas $\pmod{2018}$, comme écrit initialement), et cela sans l’aide d’une machine.

:-)
Merci d'avance.

Rescassol · February 2018

Bonsoir,

$2$ ? (n'importe quoi !)

Cordialement,

Rescassol

killersmile38 · February 2018

@Rescassol: j'avoue, j'ai failli répondre comme toi :-D

@Gil Bill: Telle qu'elle est posée, la question ne veut absolument rien dire... Veux-tu la plus petite solution entière positive de ton équation ?

Dans ce cas, la réponse est $x=2016$. Qu'as-tu fait ?

Rescassol · February 2018

Bonsoir,

y=(2**2017)%2018
print(y)    

for n in range(2018):
    if (2017*n)%2018==y:
        x=n
        print(x)

z=((2**2017)-(2017*x))
u=(z//2018)*2018-z
print(u)

donne:

2
2016
0

Cordialement,

Rescassol

Sneg · February 2018

L'expression est : $2017\cdot x\equiv 2^{2017}\pmod{2^{2018}}$.

C'est déjà un peu n'importe quoi. Mais si en plus je commence à écrire n'importe comment...

Sneg · February 2018

Et je précise, car manifestement, ce soir ça ne va pas, moi : Sans recourir aux machines.

depasse · February 2018

Bonsoir,

Gil Bill a écrit:

L'expression est : $2017\cdot x\equiv 2^{2017}\pmod{2^{2018}}$.

$x$ est le plus petit entier positif de la forme $\displaystyle{\frac{2^{2017}+k2^{2018}}{2017}=\frac{2^{2017}(1+2k)}{2017}=2^{2017}\frac{1+2k}{2017}}$. C'est donc $2^{2017}$

Cordialement
Paul

killersmile38 · February 2018

@Gil Bill: Je répète, c'est $2016$, ce que confirme le script de Rescassol, et tout se fait à la main.

Qu'as-tu fait ? qu'as-tu essayé ?

Sans vouloir faire de mauvais esprit, les "énigmes" que nous posent les intervenants sont 99 fois sur 100 leurs exercices qu'ils ont la flemme de chercher.

Est-ce le cas ? Si ce n'est pas le cas, je donnerai une solution complète. Sinon, je donnerai juste des indications.

Sneg · February 2018

Je m’expliquerai après-midi. Maintenant, je n’ai pas le temps. Merci.

Sneg · February 2018

Non, je ne suis pas "un étudiant qui fait faire ses exercices par les autres".

Je ne fais des mathématiques que pour le plaisir et, en étudiant les propriétés des suites $a, 2a, 3a, ... , ba$ calculées modulo $b$, j'ai remarqué que, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux avec $b$ pair, alors $a\cdot \frac{b}{2}\equiv \frac{b}{2}\pmod{b}$. Cela s'explique facilement : Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux avec $b$ pair, alors $a$ est impair. Posons $a=2m+1$ (pour un entier m). alors :
$a\cdot \frac{b}{2}\equiv (2m+1)\frac{b}{2}\equiv \frac{b}{2}\cdot 2m+\frac{b}{2}\equiv b\cdot m+\frac{b}{2}\equiv \frac{b}{2}\pmod{b}$.

Dans la petite "énigme" initiale, à qui j'ai voulu donner une allure rébarbative avec des puissances élevées, si on pose simplement $a=2017$ et $b=2^{2018}$, il se fait que $2^{2017}=\frac{2^{2018}}{2}=\frac{b}{2}$.

Ce n'est rien de plus que cela. Sans doute pas de quoi faire une "énigme", en effet. D'autant plus que "depasse" a résolu le problème encore d'une autre façon. Merci "depasse".

Killersmile, je ne comprends pas ta réponse.

killersmile38 · February 2018

Ma réponse, c'est: $2016$ est la plus petite solution positive de $2017x\equiv 2^{2017} \mod 2018$.

Déjà, cela se récrit $-x\equiv 2^{2017} \mod 2018$, soit $ x\equiv -2^{2017} \mod 2018$.

Maintenant, on remarque $2018=1009\times 2$ et que $1009$ est un nombre premier. Par Fermat, on a donc $2^{2016}=(2^{1009-1})^2\equiv 1^2\equiv1 \mod 1009$, d'où $2^{2017}\equiv 2 \mod 2018.$

On a ainsi $x\equiv -2 \mod 2018$, soit $x\equiv 2016 \mod 2018$, d'où la conclusion.

D'ailleurs, avec un esclave numérique, on vérifie que $2016$ est bien solution.

Un même esclave numérique montre que $2^{2017}$ ne convient pas. Autrement dit, je ne suis pas d'accord avec la solution de depasse.

claude quitté · February 2018

@killersmile38
Entre temps, dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1610900,1610952#msg-1610952, Gil Bill a changé le modulus : $2^{2018}$ (nouveau modulus) au lieu de $2018$ (ancien modulus) sans pour autant changer son premier post.