Nombre de partitions de $2^n$ ?

babsgueye · February 2018

Bonjour
Je cherche à trouver le nombre de partitions de $2^n$ en (somme) puissances de $2$ et en fonction de $n$. J'arrive à trouver une relation récurrente ie ce nombre demandé en fonction du nombre de partitions de $2^{n-1}$ en puissances de $2$.

Merci.

jandri · February 2018

C'est la suite A2577 de l'OEIS.

babsgueye · February 2018

Merci.

babsgueye · February 2018

Salut

En fait la relation récurrente que j'avais trouvée n'est pas bonne. Mais ce qui m'intéresse, c'est la solution de l'équation diophantienne $2^n = 8ab + a + b$ en $(n, a, b)\in\mathbb N^3$.
Des solutions triviales sont $(0, 0, 1)$ ou $(0, 1, 0)$, mais est-ce qu'il en existe d'autres ?

Chaurien · February 2018

Peut-être écrire : $(8a+1)(8b+1)=2^{n+3}+1$.

marco · February 2018

Voici d'autres solutions avec $0 <a\leq b<200$:
a=1, b=7
a=2, b=30
a=3, b=5
a=4, b=124
a=14, b=18
a=23, b=177
a=60, b =68

jandri · February 2018

Il y a une infinité de solutions. Par exemple:

$n=6k$, $a=1$ et $b=\dfrac{2^{6k}-1}9$.

marco · February 2018

Les entiers $a>0$ tels qu'il existe une infinité de $b>0$ tels que $(a,b)$ soit solution sont les entiers $a$ tels qu'il existe $k$ tel que $a \equiv 2^k \pmod{8a+1}$ ?

babsgueye · February 2018

Merci beaucoup.
Déjà intéressant.

babsgueye · February 2018

Bonjour
Est qu'il aurait des valeurs de $a$ de la forme $m^2+m$ avec $m$ naturel $\neq1$ ?

marco · February 2018

Bonjour,

Voici trois solutions:
$a=12=3^2+3$ et $b=21620$ et $n=21$.
$a=30=5^2+5$ et $b=2$ et $n=9$.
$a=1806=42^2+42$ et $b=38048018$ et $n=39$.

babsgueye · February 2018

Merci @marco
En fait mes recherches sont liées au problème ''Fermat sans carré''. Donc le problème n'est pas simple. C'est lié à la nature de $2^p - 3$ qui n'est égal à aucune des valeurs de $n$ que tu as trouvées ! Je veux dire qu'aucune des valeurs de $n$ ne s'écrit sous la forme $2^p-3$, $p$ entier.

Nombre de partitions de $2^n$ ?

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